Integrale molto molto difficile (almeno per me!)

[giadetta]

Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo integrale:
Int(Sqrt(-x^2+8*x-7))dx =

Io sono arrivata a una soluzione che è questa:
=6*ArcTan(Sqrt((7-x)/(x-1))) – (6*(Sqrt((7-x)/(x-1)))/(6/(x-1))

ma non so se è giusta, secondo voi?

Ciao

Sqrt( ) = radice quadrata di

[_Tipper]

Fai la derivata e vedi se ti ritorna l'integranda.

[giadetta]

Più che altro non mi ritorna l'area che devo trovare, quindi ho concluso che è sbagliato di sicuro. Non ce la faccio a fare la derivata dopo tutto quello che ho fatto per risolvere l'integrale(avendo un'altra prova che è sbagliato)... Magari qualcuno potrebbe darmi anche solo delle indicazioni, non so. Io non lo so risolvere in un altro modo.

[Sk_Anonymous]

Il risultato è

$9/2*arcsin((x-4)/3)+((x-4)*sqrt(-x^2+8x-7))/2

[giadetta]

Grazie, ma come sei arrivato alla soluzione?

[Sk_Anonymous]

Le soluzioni dell'equazione $-x^2+8x-7=0$ sono $x_1=1,x_2=7$.

Ora poni:

$sqrt((x-1)/(7-x))=t$ da cui $x-1=t^2(7-x) => x=(7t^2+1)/(1+t^2) => dx=(12t)/(1+t^2)^2dt$

inoltre,tenendo presente anche la $x-1=t^2(7-x)$,

abbiamo che $sqrt(-x^2+8x-7)=sqrt(-(x-1)(x-7))=sqrt((x-1)(7-x))=sqrt((t^2(7-x)^2))=t*(7-x)=t*(7-(7t^2+1)/(1+t^2))=(6t)/(1+t^2)$

sostituendo le espressioni trovate nell'integrale di partenza esso si trasforma in un integrale di funzione razionale.