Integrale la cui primitiva è una funzione composta
sto avendo problemi a risolvere quest'integrale $\int x*sqrt(x^2+1)dx$
ho provato in questo modo,ma non sono molto convinta del risultato $\int x*sqrt(x^2+1)dx=2 \int 2x*sqrt(x^2+1)dx=(sqrt(x^2+1)^3)/(6)$
voi cosa ne pensate?
ho provato in questo modo,ma non sono molto convinta del risultato $\int x*sqrt(x^2+1)dx=2 \int 2x*sqrt(x^2+1)dx=(sqrt(x^2+1)^3)/(6)$
voi cosa ne pensate?
Risposte
...che il ragionamento è giusto ma il risultato è leggermente sbagliato, a causa di un errore davvero banale 
$\int x*sqrt(x^2+1)dx=2 \int 2x*sqrt(x^2+1)dx$
Inoltre ricordati che devi sempre aggiungere la costante C....
infine, per provare che l'integrale svolto è corretto basta derivare la primitiva trovata e controllare che il risultato sia proprio l'ntegranda...
$\int x*sqrt(x^2+1)dx=2 \int 2x*sqrt(x^2+1)dx$
Inoltre ricordati che devi sempre aggiungere la costante C....
infine, per provare che l'integrale svolto è corretto basta derivare la primitiva trovata e controllare che il risultato sia proprio l'ntegranda...
ora guarda bene che erroraccio hai fatto.....
$intxsqrt(x^2+1)dx=1/2int2xsqrt(x^2+1)dx=1/2int(x^2+1)^(1/2)dx^2=1/2(x^2+1)^(3/2)/(3/2)=1/3sqrt((x^2+1)^3)+C$
$intxsqrt(x^2+1)dx=1/2int2xsqrt(x^2+1)dx=1/2int(x^2+1)^(1/2)dx^2=1/2(x^2+1)^(3/2)/(3/2)=1/3sqrt((x^2+1)^3)+C$
la costante non l'ho scritta perché la do per scontata....adesso ho capito dove sbaglio....quando aggiungo una costante all'interno dell'integrale,devo aggiungere la costante invertita fuori dall'integrale 
grazie dell'aiuto
grazie dell'aiuto
"silvia_85":
la costante non l'ho scritta perché la do per scontata....
ok ma ricordati però di aggiungerla quando fai gli esercizi perché è un errore...
adesso che ho trovato l'errore mi stanno risultando ma per questa $\int (3x)/((x^2+1)^3)dx$ non riesco a capire come ottenere la derivata di $(x^2+1)$ cioè il $2x$....io ho il $3X$!!
non cambia nulla....
metti all'interno dell'integrale la costante necessaria per avere la derivata che ti serve (in questo caso 2) e poi moltiplichi fuori dall'integrale per il numero tale per cui l'integrale di partenza risulti sempre lo stesso....
metti all'interno dell'integrale la costante necessaria per avere la derivata che ti serve (in questo caso 2) e poi moltiplichi fuori dall'integrale per il numero tale per cui l'integrale di partenza risulti sempre lo stesso....
scusa ma cosi non è sbagliata? $1/2\int (3x)/(2x(x^2+1)^3)$
in altri termini devi fare così:
$int(3x)/((x^2+1)^3)dx=3/2int2x(x^2+1)^(-3)dx=3/2int(x^2+1)^(-3)dx^2=3/2(x^2+1)^(-2)/(-2)=-3/(4(x^2+1)^2)+C$
$int(3x)/((x^2+1)^3)dx=3/2int2x(x^2+1)^(-3)dx=3/2int(x^2+1)^(-3)dx^2=3/2(x^2+1)^(-2)/(-2)=-3/(4(x^2+1)^2)+C$
"tommik":
in altri termini devi fare così:
$int(3x)/((x^2+1)^3)dx=3/2int2x(x^2+1)^(-3)dx=3/2int(x^2+1)^(-3)dx^2=3/2(x^2+1)^(-2)/(-2)=-3/(4(x^2+1)^2)+C$
perché ti sei portato fuor il $3$?
ahhhh.....si scusa ho sbagliato io....certo perché a noi serve il $2x$ ma invece abbiamo il $3x$quindi mi porto fuori il $3$ e aggiungo il $2$ e quindi il rispettivo $1/2$ certo certo
"silvia_85":
scusa ma cosi non è sbagliata? $1/2\int (3x)/(2x(x^2+1)^3)$
così sì che è sbagliata....l'integrale di partenza deve sempre rimanere lo stesso...e all'interno dell'integrale devi fare in modo di avere la derivata che ti serve....se dentro hai $3x$ e a te serve $2x$ non farai altro che portare fuori il $3$ e moltiplicare per $1/2$ ed è fatta
$int(3x)/((x^2+1)^3)dx=3/2int(2x)/((x^2+1)^3)dx$
chiaro?
"silvia_85":
....certo perché a noi serve il $2x$ ma invece abbiamo il $3x$quindi mi porto fuori il $3$ e aggiungo il $2$ e quindi il rispettivo $1/2$ certo certo
OOOOOOKKKKKKK
"silvia_85":
...quando aggiungo una costante all'interno dell'integrale, devo aggiungere la costante invertita fuori dall'integrale ...
Aspetta, aspetta ... tu non aggiungi niente ... quando moltiplichi l'integranda per una costante devi moltiplicare l'integrale per il reciproco di quella costante ... così mi pare meglio, no?
Cordialmente, Alex
ma nel caso dovessi aggiungere solo un esponente lo devo aggiungere anche fuori dell'integrale?
io ad esempio ho svolto questo esercizio:
$\int 6*cosx*(sex)^2x dx=6 \int(cos^2x)*sen^2x dx=6*((sen^3)x)/(3)=2*sen^3x$ giusto?
si si ....scusa il mio modo 'rozzo' di esprimermi
io ad esempio ho svolto questo esercizio:
$\int 6*cosx*(sex)^2x dx=6 \int(cos^2x)*sen^2x dx=6*((sen^3)x)/(3)=2*sen^3x$ giusto?
si si ....scusa il mio modo 'rozzo' di esprimermi
Eh no ... la questione è semplice: puoi manipolare l'integranda quanto vuoi ma DEVE essere sempre equivalente quella originale altrimenti integri qualcosa di diverso; ti pare che la seconda è equivalente alla prima? Direi proprio di no ...
Tu mi potresti obiettare: "Ma perché allora porti "fuori" dall'integrale il $6$ ? L'integranda non è più la stessa ...".
Hai perfettamente ragione ma lo posso fare perché esiste un teorema che mi dice proprio questo:
Se $k$ è una costante allora $int kf(x)\ =\ k*int f(x)$.
Ok?
Cordialmente, Alex
Tu mi potresti obiettare: "Ma perché allora porti "fuori" dall'integrale il $6$ ? L'integranda non è più la stessa ...".
Hai perfettamente ragione ma lo posso fare perché esiste un teorema che mi dice proprio questo:
Se $k$ è una costante allora $int kf(x)\ =\ k*int f(x)$.
Ok?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Eh no ... la questione è semplice: puoi manipolare l'integranda quanto vuoi ma DEVE essere sempre equivalente quella originale altrimenti integri qualcosa di diverso; ti pare che la seconda è equivalente alla prima? Direi proprio di no ...
Tu mi potresti obiettare: "Ma perché allora porti "fuori" dall'integrale il $6$ ? L'integranda non è più la stessa ...".
Hai perfettamente ragione ma lo posso fare perché esiste un teorema che mi dice proprio questo:
Se $k$ è una costante allora $int kf(x)\ =\ k*int f(x)$.
Ok?
Cordialmente, Alex
la regola della costante la conosco...infatti l'ho tirato fuori anch'io volevo capire come comportarmi con l'esponente...ho fatto bene nell'esercizio sopra?
n
Allora, il risultato è corretto, ma il procedimento non lo è... se ho ben capito hai moltiplicato per $cosx$ per fare in modo che comparisse la derivata di $sin^2x$ che però non è questa ma bensì $2sinxcosx$.
L'intenzione però è buona poiché la derivata di $sinx$ è $cosx$ e dunque l'integrale diventa:
$ 6 int sin^2x d(sinx) = 6 sin^3x/3 + C = 2 sin^3x + C$
(ciò tenendo presente la formula $ int f(x)^n d(f(x)) = f(x)^(n+1)/(n+1) + C$)
L'intenzione però è buona poiché la derivata di $sinx$ è $cosx$ e dunque l'integrale diventa:
$ 6 int sin^2x d(sinx) = 6 sin^3x/3 + C = 2 sin^3x + C$
(ciò tenendo presente la formula $ int f(x)^n d(f(x)) = f(x)^(n+1)/(n+1) + C$)
non ho capito perché è sbagliato il $cosx^2x$
teniamo conto che $f(x)=cosx$ quindi la sua derivata è $Df(x)=senx$ però io invece ho $sen^2x$ che sarebbe $senx*senx$ fin qui il mio ragionamento è esatto?
teniamo conto che $f(x)=cosx$ quindi la sua derivata è $Df(x)=senx$ però io invece ho $sen^2x$ che sarebbe $senx*senx$ fin qui il mio ragionamento è esatto?
Certo che è giusto, ma a me pare che tu abbia pensato che la derivata di $sen^2x$ fosse $cos^2x$.
In ogni caso non puoi moltiplicare per qualcosa senza dividere per quella stessa quantità... ovvero nel tuo caso non puoi moltiplicare per $cosx$ senza dividere per $cosx$ poiché cambia la funzione integranda!
In ogni caso non puoi moltiplicare per qualcosa senza dividere per quella stessa quantità... ovvero nel tuo caso non puoi moltiplicare per $cosx$ senza dividere per $cosx$ poiché cambia la funzione integranda!
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