Integrale $int(x^6+x^3)(x^3+2)^(1/3)dx$ [risolto]

[anto_zoolander]

Mi sono incaponito con questo integrale

$int(x^6+x^3)(x^3+2)^(1/3)dx$

ho provato in tutti i modi, e, non so per quale motivo, non mi balza nulla in testa.

una strada mi sembrava $1/3int(x^4+x)*3x^2(x^3+2)^(1/3)dx$ integrando per parti, ma niente.

[mark971]

Ma se effettui la moltiplicazione, applichi la propietà delle potenze e poi fai per somma di integrali?

[@melia]

Proprietà delle potenze con le radici cubiche?

[axpgn]

Probabilmente intendeva "portare dentro" la radice ... in questo modo ottieni la somma di due radici cubiche ... che poi sia utile, è un altro discorso ...

[anto_zoolander]

ma mi verrebbe qualcosa di improponibile.... cioè

$x^6(x^3+2)^(1/3)$ diventerebbe $x^(18*1/3)(x^3+2)^(1/3)$

[@melia]

Comunque deve essere un vero casino perché anche WolframAlpha si rifiuta di calcolarlo.

[axpgn]

Perché devi chiederglielo gentilmente ...

$1/8x^4(x^3+2)^(4/3)+c$

[anto_zoolander]

La soluzione mi era nota dal libro, è il procedimento che mi sta facendo fare suicidare

[orsoulx]

Beh! Sperando che tommik non mi legga, che altrimenti me ne dice quattro. Se provi ad integrare, per parti, solo $ int x^6 (x^3+2)^(1/3) dx $, al risultato ci arrivi.
Ciao
B.

[anto_zoolander]

vi aggiornerò sugli sviluppi.

[Lo_zio_Tom]

va beh....giusto perché mi avete nominato....Anto ti propongo questo:


$int(x^4(1-x)^4)/(1+x^2)dx$


buon lavoro......

[anto_zoolander]

Questo è divertirsi alle spalle altrui

Quì ho trovato molte meno difficoltà, per risolvere questo bastava sapere l'algoritmo di divisione dei polinomi.
Penso sia corretto.

$int(x^4(1-x)^4)/(1+x^2)dx$

$(x^4(1-x)^4)/(1+x^2)= x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-4/(1+x^2)$

ora torno all'integrale

$int(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-4*1/(1+x^2))dx$

$x^7/7-2/3x^6+x^5-4/3x^3+4x-4arctan(x)+c$

[anto_zoolander]

E' bastata un'occhiata furbetta. Mannaggia!
però è stato un ottimo allenamento l'ho risolto così alla fine l'integrale che ho proposto.

$int(x^6+x^3)(x^3+2)^(1/3)dx$

come dicevo, doveva esistere un modo per finirlo in un colpo solo.

$int(x^5+x^2)x^(3/3)(x^3+2)^(1/3)dx$

ho uscito una sola $x$ perché mi sono accorto che spostandola dentro avrei ottenuto qualcosa di bello.

$int(x^5+x^2)(x^6+2x^3)^(1/3)dx$

noto che $d/dx(x^6+2x^3)=6x^5+6x^2$ quindi aggiusto i coefficienti

$1/6int(6x^5+6x^2)(x^6+2x^3)^(1/3)dx$

$1/6(x^6+2x^3)^(1/3+1)/(1/3+1)+c$

$1/6(x^6+2x^3)^(4/3)/(4/3)+c$

infine quindi otteniamo..

$1/8x^4(x^3+2)^(4/3)+c$

[orsoulx]

@anto:
complimenti! Gran bell'approccio.
Ed allora approfitto dell'occasione per un amichevole rimbrotto. Come hai visto i percorsi possono essere diversi, efficaci e meno efficaci, lunghi o brevi, noiosi o sorprendenti... La matematica è bellissima anche per questo. Secondo me non è il caso, nel fornire aiuto a chi lo richiede, di insistere sempre su applicazioni meccaniche e manualistiche. Ad esempio nelle disequazioni risolvibili per via grafica, pretendere lo studio dell'insieme di esistenza, e di fatto, la soluzione algebrica prima di disegnare le curve, sarebbe da evitare.
Ciao
B.

[anto_zoolander]

Grazie mille :-D

Si hai ragione, lo accetto in tutto.
Su di me è abbastanza scontato pensarla così, forse devo avere un approccio diverso per la scrittura di ciò che penso.
La gioventù mi tradisce!