Integrale indefinito riconducibile ad un integrale elementare, o no?
Ciao ragazzi, non riesco a dissolvermi questo dubbio.
$int (3x-1)dx$
Per l'omogeneità dell'integrale, posso trasformarlo in $int 3x dx- intx dx $, integrare singolarmente i termini ed ottenere $3/2 x^2 - x +c$
Tuttavia, se lo affronto utilizzando la regola: $int f^n(x)*f'(x) dx= f^(n+1)(x)/(n+1) + c$
cioè moltiplicando l'interno dell'integrale per 3 e moltiplicando per 1/3 (portandolo poi fuori), così da generare $f'(x)$ all'interno dell'integrale, il risultato dell'esercizio non combacia.
Eppure mi sembra di applicare la regola in modo corretto, e che moltiplicare e dividere per uno stesso valore all'interno dell'integrale non debba alterare il risultato.
Dove sbaglio?
$int (3x-1)dx$
Per l'omogeneità dell'integrale, posso trasformarlo in $int 3x dx- intx dx $, integrare singolarmente i termini ed ottenere $3/2 x^2 - x +c$
Tuttavia, se lo affronto utilizzando la regola: $int f^n(x)*f'(x) dx= f^(n+1)(x)/(n+1) + c$
cioè moltiplicando l'interno dell'integrale per 3 e moltiplicando per 1/3 (portandolo poi fuori), così da generare $f'(x)$ all'interno dell'integrale, il risultato dell'esercizio non combacia.
Eppure mi sembra di applicare la regola in modo corretto, e che moltiplicare e dividere per uno stesso valore all'interno dell'integrale non debba alterare il risultato.
Dove sbaglio?
Risposte
La prima ok (a parte un'imprecisione nella scrittura) ma non ho capito cosa hai fatto nella seconda; non potresti scriverla esplicitamente?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Se ho capito bene il tuo problema è questo
usando l'omogeneità ottengo:
\[ \int 3x - 1 dx = \int 3xdx - \int 1 dx = \frac{3}{2}x^2 - x + c \]
mentre ponendo \( f(x) = 3x-1 \) ho che \(f'(x) = 3 \) e pertanto
\[ \int 3x-1 dx = \frac{1}{3} \int 3 (3x-1)dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{(3x-1)^2}{2} \right] + k = \frac{3}{2}x^2 -x + \frac{1}{6} + k \]
E dici che ottieni due cose differenti?
Se è questo il tuo dubbio. Non stai tenendo conto di una cosa. Una primitiva di una funzione è unica a meno di una costante. Perché se derivi una costante ti da \(0\) sempre. Quindi non influisce sulla derivata pertanto ottieni la stessa famiglia di primitive, perché \( \frac{1}{6} \) nella seconda viene inglobato nella \(+c \) dall'altra parte.
usando l'omogeneità ottengo:
\[ \int 3x - 1 dx = \int 3xdx - \int 1 dx = \frac{3}{2}x^2 - x + c \]
mentre ponendo \( f(x) = 3x-1 \) ho che \(f'(x) = 3 \) e pertanto
\[ \int 3x-1 dx = \frac{1}{3} \int 3 (3x-1)dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{(3x-1)^2}{2} \right] + k = \frac{3}{2}x^2 -x + \frac{1}{6} + k \]
E dici che ottieni due cose differenti?
Se è questo il tuo dubbio. Non stai tenendo conto di una cosa. Una primitiva di una funzione è unica a meno di una costante. Perché se derivi una costante ti da \(0\) sempre. Quindi non influisce sulla derivata pertanto ottieni la stessa famiglia di primitive, perché \( \frac{1}{6} \) nella seconda viene inglobato nella \(+c \) dall'altra parte.
"axpgn":
La prima ok (a parte un'imprecisione nella scrittura) ma non ho capito cosa hai fatto nella seconda; non potresti scriverla esplicitamente?
Cordialmente, Alex
Alex, il mio dubbio è proprio quello che 3m0o ha esplicitato, l'ha scritto meglio di me.
@3m0o: Capito, quindi tra i due risultati hanno una scrittura diversa ma sono di fatto uguali. uhm. Se però l'integrale fosse stato un integrale definito ed avessi quindi dovuto effettuare altri calcoli, quell'$1/6$ avrebbe cambiato il risultato, mi sembra.
Come avrei fatto a capire che avrei dovuto risolverlo attraverso l'omogeneità, se mi spiego?
"Dlofud":
Se però l'integrale fosse stato un integrale definito ed avessi quindi dovuto effettuare altri calcoli, quell'$1/6$ avrebbe cambiato il risultato, mi sembra.
No. Perché?
Cordialmente, Alex
"Dlofud":
, quell'$1/6$ avrebbe cambiato il risultato, mi sembra.
E ti sembra male, mi sembra
Allora quando fai un integrale indefinito cerchi una famiglia di primitive, se vuoi un insieme di funzioni che derivate ti danno l'integranda.
\[ \{ F(x): I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid F'(x) = f(x) \} \]
Quindi nel tuo caso una potrebbe essere \(F(x) = \frac{3}{2}x^2 - x \), ma un altra potrebbe essere \(G(x) = \frac{3}{2}x^2 - x + 48 \). Effettivamente sono funzioni diverse ma ha poca importanza perché la loro derivata è comunque \( 3x-1 \).
Quando si scrive
\[ \int 3x-1 dx = \frac{3}{2}x^2 - x + c \]
s'intende aggiungendo \( +c \) che va bene qualunque costante e che la scelta non è importante.
Se vuoi fare un integrale definito, diciamo tra \(a\) e \(b\) scegli una primitiva (e la scelta non è importante) e calcoli
\[ F(b)-F(a)\]
ma potevi scegliere anche \(G(b)-G(a) \) e il risultato sarebbe stato lo stesso. Infatti se prendiamo una costante qualunque (e la chiamo \(c\) ) guarda cosa esce
\[ \left( \frac{3}{2} b^2 - b + c \right) - \left( \frac{3}{2} a^2 - a + c \right) = \frac{3}{2} (b^2-a^2) - (b-a) + \underbrace{c - c}_{=0} \]
quindi in ogni caso la tua costante si annulla sempre facendo una differenza e la scelta della costante non determina il risultato dell'integrale definito.
\[ \{ F(x): I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid F'(x) = f(x) \} \]
Quindi nel tuo caso una potrebbe essere \(F(x) = \frac{3}{2}x^2 - x \), ma un altra potrebbe essere \(G(x) = \frac{3}{2}x^2 - x + 48 \). Effettivamente sono funzioni diverse ma ha poca importanza perché la loro derivata è comunque \( 3x-1 \).
Quando si scrive
\[ \int 3x-1 dx = \frac{3}{2}x^2 - x + c \]
s'intende aggiungendo \( +c \) che va bene qualunque costante e che la scelta non è importante.
Se vuoi fare un integrale definito, diciamo tra \(a\) e \(b\) scegli una primitiva (e la scelta non è importante) e calcoli
\[ F(b)-F(a)\]
ma potevi scegliere anche \(G(b)-G(a) \) e il risultato sarebbe stato lo stesso. Infatti se prendiamo una costante qualunque (e la chiamo \(c\) ) guarda cosa esce
\[ \left( \frac{3}{2} b^2 - b + c \right) - \left( \frac{3}{2} a^2 - a + c \right) = \frac{3}{2} (b^2-a^2) - (b-a) + \underbrace{c - c}_{=0} \]
quindi in ogni caso la tua costante si annulla sempre facendo una differenza e la scelta della costante non determina il risultato dell'integrale definito.
@3m0o[ot]Lascia un po' di spazio all'OP ogni tanto 
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@axpgn
[ot]Hai ragione... il mio non vuole essere un invasione di spazio all'OP ma un spiegargli le cose. Perché parafrasando un mio TA (teaching assistant), quando non capivo una roba sugli spazi proiettivi mi disse: la matematica è fatta di persone che non capiscono, fin quando non arriva qualcuno che ti mostra il concetto sotto un' altro punto di vista, uno che capisci, e poi capisci. E a sua volta la persona che ti ha fatto capire non capiva, ma qualcuno gli ha fatto capire.
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[ot]Hai ragione... il mio non vuole essere un invasione di spazio all'OP ma un spiegargli le cose. Perché parafrasando un mio TA (teaching assistant), quando non capivo una roba sugli spazi proiettivi mi disse: la matematica è fatta di persone che non capiscono, fin quando non arriva qualcuno che ti mostra il concetto sotto un' altro punto di vista, uno che capisci, e poi capisci. E a sua volta la persona che ti ha fatto capire non capiva, ma qualcuno gli ha fatto capire.
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@3m0o
[ot]Ti capisco
Però un po' di tempo per riflettere, daglielo, se ci arriva da solo, meglio
Se no, siam sempre qui[/ot]
[ot]Ti capisco
Però un po' di tempo per riflettere, daglielo, se ci arriva da solo, meglio
Se no, siam sempre qui
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