Integrale indefinito - funzione trigonometrica

[SuperGaara]

Mia sorella, che frequenta ingegneria biomedica a Padova, mi ha detto di domandarvi la soluzione di questo integrale indefinito:

[math]\int \frac{1}{\sqrt{1+\sin x}}\;dx[/math]

[Pillaus]

Trovata una strada breve. Allora, formule di duplicazione;

[math]\frac{1}{\sqrt{1 + \sin x}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2\sin {x \over 2} \cos {x \over 2}}} = \\=\frac{1}{\sqrt{\sin^2 {x \over 2} + \cos^2 {x \over 2} + 2 \sin {x \over 2} \cos {x \over 2}}} = \frac{1}{\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \sin\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right)[/math]

.

Poniamo

[math]y = x/2 + \pi/4[/math]

e andiamo avanti usando le formule di duplicazione. Hai:

[math]= \frac{1}{\sqrt{2} \sin y} = \frac{1}{2\sqrt{2} \sin {y \over 2} \cos {y \over 2}} [/math]

separiamo i due fattori con i fratti semplici. Dopo un po' di tentativi, trovi:

[math]=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{\cos {y \over 2}}{\sin {y \over 2}}+\frac{\sin {y \over 2}}{\cos {y \over 2}}\right)[/math]

Questo si integra immediatamente, ottenendo per l'integrale

[math]\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\ln \sin {y \over 2} - \ln \cos {y \over 2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{\sin\left({x \over 4} + {\pi \over 8}\right)}{\cos\left({x \over 4} + {\pi \over 8}\right)}[/math]

[SuperGaara]

Grazie Ale, vedi se ci riesci...

[Pillaus]

ancora vivo?

[xico87]

mi sa di no :anal

[SuperGaara]

Pillaus :
ancora vivo?

Eheheh, poi sono andato a nanna...comunque oggi dovevo aspettare mia sorella prima di rispondere, anche perchè io non so nemmeno cosa sia un integrale...

Ti ringrazia molto per averglielo risolto! Poi ha detto che seguendo più o meno quello che hai fatto te, è riuscita a trovare anche un'altra strada...comunque grazie ancora! ;)

P.S: only for xico ---> :anal

Chiudo il topic :hi