Integrale indefinito...
Salve ;D
Allora ho quest'integrale $int ((3x+x^3+x^4)/(1+x^4))$
Non riesco a integrare una volta scomposta la funzione in $3x/(1+x^4)+x^3/(1+x^4)+1-1/(1+x^4)$ la sottofunzione $-1/(1+x^4)$... non riesco a capire come si integri ... forse c'è un modo più semplice per integrarla?
grazie in anticipo dell'aiuto
Allora ho quest'integrale $int ((3x+x^3+x^4)/(1+x^4))$
Non riesco a integrare una volta scomposta la funzione in $3x/(1+x^4)+x^3/(1+x^4)+1-1/(1+x^4)$ la sottofunzione $-1/(1+x^4)$... non riesco a capire come si integri ... forse c'è un modo più semplice per integrarla?
grazie in anticipo dell'aiuto
Risposte
della tua scompisizione non mi trovo solo perchè hai messo quel $+1-...$, non vedo da dove lo tiri fuori...
comunque guardando bene $1/(1+x^4)$ vedrai che lo puoi scrivere come $1/(1+(x^2)^2)$ che integrando viene fuori $arctan(x^2)$...
ciao
comunque guardando bene $1/(1+x^4)$ vedrai che lo puoi scrivere come $1/(1+(x^2)^2)$ che integrando viene fuori $arctan(x^2)$...
ciao
ciao!!
Secondo me è più facile integrare la funzione che hai semplicemente facendo la divisione fra i due polinomi, tenendo presente la regola generale della divisione che dice :> N/D =Q +R/D , cioè una qualunque divisione puoi pensarla come la somma del quoziente ( in questo caso il polinomio che è il quoziente) e il rapporto del resto con il denominatore...
Così puoi trasformare il tuo integrale nell'integrale nella somma di due integrali più semplici... quello del quoziente che è un polinomio e quello del rapporto..
Spero di esserti stato utile..
Secondo me è più facile integrare la funzione che hai semplicemente facendo la divisione fra i due polinomi, tenendo presente la regola generale della divisione che dice :> N/D =Q +R/D , cioè una qualunque divisione puoi pensarla come la somma del quoziente ( in questo caso il polinomio che è il quoziente) e il rapporto del resto con il denominatore...
Così puoi trasformare il tuo integrale nell'integrale nella somma di due integrali più semplici... quello del quoziente che è un polinomio e quello del rapporto..
Spero di esserti stato utile..
si ci ho gia provato... ma mi ritrovo sempre nella forma in cui vedete...
Provare per credere ;D
Provare per credere ;D
Volendo proprio fare tutti calcoli
$int ((3x+x^3+x^4)/(1+x^4)) = int (3x/(1+x^4)+x^3/(1+x^4)+x^4/(1+x^4))$
Da cui sommando e sottraendo 1 e scindendo successivamente la sottofunzione $x^4/(1+x^4)$ diventa
$(x^4+1)/(x^4+1) -1/(x^4+1)$ di cui per l'appunto so integrare le prime 3 eccetto $-1/(x^4+1)$
Con la divisione si ottiene lo stesso risultato...
$int ((3x+x^3+x^4)/(1+x^4)) = int (3x/(1+x^4)+x^3/(1+x^4)+x^4/(1+x^4))$
Da cui sommando e sottraendo 1 e scindendo successivamente la sottofunzione $x^4/(1+x^4)$ diventa
$(x^4+1)/(x^4+1) -1/(x^4+1)$ di cui per l'appunto so integrare le prime 3 eccetto $-1/(x^4+1)$
Con la divisione si ottiene lo stesso risultato...
"V3rgil":
Volendo proprio fare tutti calcoli
$int ((3x+x^3+x^4)/(1+x^4)) = int (3x/(1+x^4)+x^3/(1+x^4)+x^4/(1+x^4))$
Da cui sommando e sottraendo 1 e scindendo successivamente la sottofunzione $x^4/(1+x^4)$ diventa
$(x^4+1)/(x^4+1) -1/(x^4+1)$ di cui per l'appunto so integrare le prime 3 eccetto $-1/(x^4+1)$
Con la divisione si ottiene lo stesso risultato...
ok scusa, non avevo notato.. lol
comunque la mia soluzione è sempre valida... porti il segno $-$ fuori dall'integrale e avrai $-int 1/(1+(x^2)^2) dx$$=$$-arctan(x^2)+C$....
tra l'altro $-1/(x^4+1)$ non si integra in $arctg(x^2)$ poiché manca il termine al numeratore $2x$... dovendo essere funzione di funzione xD scusami non avevo visto che già avevi risposto 
;D
scusami non avevo visto che già avevi risposto ;D
"V3rgil":
tra l'altro $-1/(x^4+1)$ non si integra in $arctg(x^2)$ poiché manca il termine al numeratore $2x$... dovendo essere funzione di funzione xD
O MIO DIO!!!! scusa hai perfettamente raggione!!!!! hahah cavoli sto dormendo...
hai provato per sostituzione?, non so, è un'idea che mi è venuta adesso...
;D no problems ;D
Il problema per il metodo di sostituzione è che quest'esercizio... si trova tra quelli che si possono fare senza appunto il metodo di sostituzione xD... cmq ho provato anche con quello però niente... xD
Il problema per il metodo di sostituzione è che quest'esercizio... si trova tra quelli che si possono fare senza appunto il metodo di sostituzione xD... cmq ho provato anche con quello però niente... xD
Per integrare $1/(1+x^4) $ premetto una formula che mi sembra interessante e da ricordare:
$int1/(ax^2+bx+c)dx=2/(sqrt(4ac-b^2))arctan((2ax+b)/(sqrt(4ac-b^2)))+C$
valida per $4ac-b^2>0$
Ora osservo che:
$1+x^4=(1+x^2)^2-(xsqrt2)^2=(x^2+xsqrt2+1)(x^2-xsqrt2+1)$
e quindi,tenuto conto che $1+x^4$ è pari,si può porre:
$1/(1+x^4)=(Ax+B)/(x^2+xsqrt2+1)+(-Ax+B)/(x^2-xsqrt2+1)$
Ponendo x=0 si ricava che 1=2B da cui $B=1/2$
Ponendo x=1 risulta:
$1/2=(A+1/2)/(2+sqrt2)+(-A+1/2)/(2-sqrt2)$ da cui $A=(sqrt2)/4$
E quindi otteniamo che:
$1/(1+x^4)=((sqrt2)/4x+1/2)/(x^2+xsqrt2+1)+(-(sqrt2)/4x+1/2)/(x^2-xsqrt2+1)$
Con un po' di calcoli...acrobatici quest'ultima espressione si può trasformare in:
$1/(1+x^4)=(sqrt2)/8[(2x+sqrt2)/(x^2+xsqrt2+1)-(2x-sqrt2)/(x^2-xsqrt2+1)]+1/4[1/(x^2+xsqrt2+1)+1/(x^2-xsqrt2+1)]$
Perciò,integrando e tenendo conto della formula premessa,ricaviamo che:
$int1/(1+x^4)dx=(sqrt2)/8ln((x^2+xsqrt2+1)/(x^2-xsqrt2+1))+1/4[2/(sqrt2)arctan(xsqrt2+1)+2/(sqrt2)arctan(xsqrt2-1)]+C$
Oppure (sotto certe condizioni):
$int1/(1+x^4)dx=(sqrt2)/8ln((x^2+xsqrt2+1)/(x^2-xsqrt2+1))+(sqrt2)/4arctan((xsqrt2)/(1-x^2))+C$
Marco
$int1/(ax^2+bx+c)dx=2/(sqrt(4ac-b^2))arctan((2ax+b)/(sqrt(4ac-b^2)))+C$
valida per $4ac-b^2>0$
Ora osservo che:
$1+x^4=(1+x^2)^2-(xsqrt2)^2=(x^2+xsqrt2+1)(x^2-xsqrt2+1)$
e quindi,tenuto conto che $1+x^4$ è pari,si può porre:
$1/(1+x^4)=(Ax+B)/(x^2+xsqrt2+1)+(-Ax+B)/(x^2-xsqrt2+1)$
Ponendo x=0 si ricava che 1=2B da cui $B=1/2$
Ponendo x=1 risulta:
$1/2=(A+1/2)/(2+sqrt2)+(-A+1/2)/(2-sqrt2)$ da cui $A=(sqrt2)/4$
E quindi otteniamo che:
$1/(1+x^4)=((sqrt2)/4x+1/2)/(x^2+xsqrt2+1)+(-(sqrt2)/4x+1/2)/(x^2-xsqrt2+1)$
Con un po' di calcoli...acrobatici quest'ultima espressione si può trasformare in:
$1/(1+x^4)=(sqrt2)/8[(2x+sqrt2)/(x^2+xsqrt2+1)-(2x-sqrt2)/(x^2-xsqrt2+1)]+1/4[1/(x^2+xsqrt2+1)+1/(x^2-xsqrt2+1)]$
Perciò,integrando e tenendo conto della formula premessa,ricaviamo che:
$int1/(1+x^4)dx=(sqrt2)/8ln((x^2+xsqrt2+1)/(x^2-xsqrt2+1))+1/4[2/(sqrt2)arctan(xsqrt2+1)+2/(sqrt2)arctan(xsqrt2-1)]+C$
Oppure (sotto certe condizioni):
$int1/(1+x^4)dx=(sqrt2)/8ln((x^2+xsqrt2+1)/(x^2-xsqrt2+1))+(sqrt2)/4arctan((xsqrt2)/(1-x^2))+C$
Marco
grazie ma non mi sono chiare alcune cose 
Ad esempio perché hai sostituito prima 0 e poi 1 alla x hm... poi non capisco inoltre perché quando è pari si possa porre $1+x^4$ in quel modo hm
Inoltre quella formula iniziale sul libro non la porta proprio xD... Non è che esiste un modo più facile... per risolverlo quest'integrale dato che lo porta tra quelli semplici...
Ad esempio perché hai sostituito prima 0 e poi 1 alla x hm... poi non capisco inoltre perché quando è pari si possa porre $1+x^4$ in quel modo hm
Inoltre quella formula iniziale sul libro non la porta proprio xD... Non è che esiste un modo più facile... per risolverlo quest'integrale dato che lo porta tra quelli semplici...
Se la traccia è quella, non c'è niente da fare.Ti devi sorbire per forza quell' $1/(1+x^4)$ e se il
libro lo mette tra i facili significa che...bara!!
Andiamo con ordine.
La decomposizione ordinaria andrebbe scritta così:
$1/(1+x^4)=(Ax+B)/(x^2+xsqrt2+1)+(Cx+D)/(x^2-xsqrt2+1)$
Riducendo il tutto a forma intera ed applicando il principio d'identità dei polinomi hai un sistema
di 4 equazioni nelle incognite A,B,C,D.Il procedimento è piuttosto lungo ed è per questo che ti ho
proposto quello basato sul fatto che la funzione $1+x^4$ è pari.
Infatti se cambio x in -x avrò:
$1/(1+x^4)=(-Ax+B)/(x^2-xsqrt2+1)+(-Cx+D)/(x^2+xsqrt2+1)$
e poiché il primo membro è rimasto uguale tale deve rimanere anche il secondo membro
e ciò è possibile solo se C=-A e D=B.Quanto al fatto di porre x=0 e x=1 è solo un modo per
semplificare i calcoli e discende sempre dal principio d'identità dei polinomi.Se vuoi puoi
applicarlo anche tu ,magari scegliando valori di x diversi da 0 ed 1.Oppure puoi rifarti al
metodo del sistema.
Per quella formula poi,si tratta di un integrale noto ( anche al liceo suppongo) che s'incontra spesso.
Per arrivarci si può tentare di scomporre il denominatore come somma di quadrati (sempre che sia $4ac-b^2>0$)
oppure ricorrere alla sostituzione $2ax+b=tsqrt(4ac-b^2)$ che porta direttamente all'arcotangente.
Marco
libro lo mette tra i facili significa che...bara!!
Andiamo con ordine.
La decomposizione ordinaria andrebbe scritta così:
$1/(1+x^4)=(Ax+B)/(x^2+xsqrt2+1)+(Cx+D)/(x^2-xsqrt2+1)$
Riducendo il tutto a forma intera ed applicando il principio d'identità dei polinomi hai un sistema
di 4 equazioni nelle incognite A,B,C,D.Il procedimento è piuttosto lungo ed è per questo che ti ho
proposto quello basato sul fatto che la funzione $1+x^4$ è pari.
Infatti se cambio x in -x avrò:
$1/(1+x^4)=(-Ax+B)/(x^2-xsqrt2+1)+(-Cx+D)/(x^2+xsqrt2+1)$
e poiché il primo membro è rimasto uguale tale deve rimanere anche il secondo membro
e ciò è possibile solo se C=-A e D=B.Quanto al fatto di porre x=0 e x=1 è solo un modo per
semplificare i calcoli e discende sempre dal principio d'identità dei polinomi.Se vuoi puoi
applicarlo anche tu ,magari scegliando valori di x diversi da 0 ed 1.Oppure puoi rifarti al
metodo del sistema.
Per quella formula poi,si tratta di un integrale noto ( anche al liceo suppongo) che s'incontra spesso.
Per arrivarci si può tentare di scomporre il denominatore come somma di quadrati (sempre che sia $4ac-b^2>0$)
oppure ricorrere alla sostituzione $2ax+b=tsqrt(4ac-b^2)$ che porta direttamente all'arcotangente.
Marco
Tutto chiarissimo grazie mille ;D
"marcoz":
Se la traccia è quella, non c'è niente da fare.Ti devi sorbire per forza quell' $1/(1+x^4)$ e se il
libro lo mette tra i facili significa che...bara!!
Andiamo con ordine.
La decomposizione ordinaria andrebbe scritta così:
$1/(1+x^4)=(Ax+B)/(x^2+xsqrt2+1)+(Cx+D)/(x^2-xsqrt2+1)$
Riducendo il tutto a forma intera ed applicando il principio d'identità dei polinomi hai un sistema
di 4 equazioni nelle incognite A,B,C,D.Il procedimento è piuttosto lungo ed è per questo che ti ho
proposto quello basato sul fatto che la funzione $1+x^4$ è pari.
Infatti se cambio x in -x avrò:
$1/(1+x^4)=(-Ax+B)/(x^2-xsqrt2+1)+(-Cx+D)/(x^2+xsqrt2+1)$
e poiché il primo membro è rimasto uguale tale deve rimanere anche il secondo membro
e ciò è possibile solo se C=-A e D=B.Quanto al fatto di porre x=0 e x=1 è solo un modo per
semplificare i calcoli e discende sempre dal principio d'identità dei polinomi.Se vuoi puoi
applicarlo anche tu ,magari scegliendo valori di x diversi da 0 ed 1.Oppure puoi rifarti al
metodo del sistema.
Per quella formula poi,si tratta di un integrale noto ( anche al liceo suppongo) che s'incontra spesso.
Per arrivarci si può tentare di scomporre il denominatore come somma di quadrati (sempre che sia $4ac-b^2>0$)
oppure ricorrere alla sostituzione $2ax+b=tsqrt(4ac-b^2)$ che porta direttamente all'arcotangente.
Marco
Anzi un ultima cosa se posso chiedere ;D l'ultimo passaggio dove dicevi oppure sotto certe condizioni hm come ci si arriva? hm grazie ancora
grazie ancora
Siano $alpha ,beta$ due angoli di tangenti assegnate:
(1) ${(tan(alpha)=u),(tan(beta)=v):}$
da cui ricaviamo:
(2) ${(alpha=arctan(u)),(beta=arctan(v)):}$
Applichiamo ora una nota formula di trigo.:
$tan(alpha+beta)=(tan(alpha)+tan(beta))/(1-tan(alpha)tan(beta))$
e passando all'arcotangente:
$alpha+beta=arctan((tan(alpha)+tan(beta))/(1-tan(alpha)tan(beta)))$
E sostituendo le (1) e (2):
(3) $arctan(u)+arctan(v)=arctan((u+v)/(1-uv))$
Nel nostro caso risulta:
$arctan(xsqrt2+1)+arctan(xsqrt2+1)=arctan((xsqrt2+1+xsqrt2-1)/(1-(xsqrt2+1)(xsqrt2-1)))=arctan((2xsqrt2)/(2-2x^2))=arctan((xsqrt2)/(1-x^2))$
Devo però avvertirti che la formula (3) è soggetta a delle condizioni.Più precisamente risulta:
(3) $arctan(u)+arctan(v)=arctan((u+v)/(1-uv))+npi$
dove n può assumere i valori -1,0,+1 a seconda di certe circostanze che non sto qui a dirti. Tuttavia la formula finale che ti ho dato nell'altro post è esatta in quanto ho inglobato il termine $npi$ nella costante C d'integrazione.
Marco
(1) ${(tan(alpha)=u),(tan(beta)=v):}$
da cui ricaviamo:
(2) ${(alpha=arctan(u)),(beta=arctan(v)):}$
Applichiamo ora una nota formula di trigo.:
$tan(alpha+beta)=(tan(alpha)+tan(beta))/(1-tan(alpha)tan(beta))$
e passando all'arcotangente:
$alpha+beta=arctan((tan(alpha)+tan(beta))/(1-tan(alpha)tan(beta)))$
E sostituendo le (1) e (2):
(3) $arctan(u)+arctan(v)=arctan((u+v)/(1-uv))$
Nel nostro caso risulta:
$arctan(xsqrt2+1)+arctan(xsqrt2+1)=arctan((xsqrt2+1+xsqrt2-1)/(1-(xsqrt2+1)(xsqrt2-1)))=arctan((2xsqrt2)/(2-2x^2))=arctan((xsqrt2)/(1-x^2))$
Devo però avvertirti che la formula (3) è soggetta a delle condizioni.Più precisamente risulta:
(3) $arctan(u)+arctan(v)=arctan((u+v)/(1-uv))+npi$
dove n può assumere i valori -1,0,+1 a seconda di certe circostanze che non sto qui a dirti. Tuttavia la formula finale che ti ho dato nell'altro post è esatta in quanto ho inglobato il termine $npi$ nella costante C d'integrazione.
Marco
Ora va benissimo davvero grazie infinite
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