Integrale improprio

[Aletzunny1]

ho provato a risolvere questo integrale
$\int_{0}^{+infty} 1/(e^(2x)+3e^x+2) dx$

l'ho riscritto come

$\int_{0}^{+infty} 1/((e^x+2)*(e^x+1)) dx$

posto $e^x=t$ e $dx=1/t dt$ e usando i fratti sono arrivato a trovare

$1/2$*$\int_{0}^{+infty} 1/t dt$ $+$ $1/2$*$\int_{0}^{+infty} 1/(t+2) dt$ $-$ $\int_{0}^{+infty} 1/(t+1) dt$

e quindi ottengo

$(1/2)*lne^x + (1/2)ln(e^x+2)-ln(e^x+1)$

tuttavia ora dovendo sostituire $+infty$ e $0$ trovo difficoltà:

infatti per $x=0$ trovo :$(1/2)*0+(1/2)*ln(3)-ln(2)$

mentre per $x=+infty$ non riesco a togliere la forma di indecisione $+infty-infty$

innanzitutto chiedo se per voi l'integrale è risolto correttamente...nel caso positivo qualcuno può darmi una mano sull'ultima parte?

grazie

[Zero87]

"Aletzunny":posto $e^x=t$ e $dx=1/t dt$ e usando i fratti sono arrivato a trovare
$1/2$*$\int_{0}^{+infty} 1/t dt$ $+$ $1/2$*$\int_{0}^{+infty} 1/(t+2) dt$ $-$ $\int_{0}^{+infty} 1/(t+1) dt$

Nello studio di funzioni andavo meglio e forse una mano te l'ho data nella sezione di analisi, qui però si tratta di un compito arduo con la testa di adesso.
Prima che mi chiedi cosa ho risposto a fare, ti metto un dubbio sulla sostituzione. Per quanto riguarda le sostituzioni, credo che non hai adeguato un estremo dell'integrale
$x=0 \qquad \to \qquad e^x(=t=)=1$
mentre l'altro resta $+\infty$.

[@melia]

L'integrale è giusto, per controllarne la correttezza basta farne la derivata e si ottiene la funzione di partenza. Applicando le proprietà dei logaritmi si trasforma in
$ (1/2)*lne^x + (1/2)ln(e^x+2)-ln(e^x+1) =ln(sqrt(e^x(e^x+2))/(e^x+1))$ qui è molto più semplice sostituire gli estremi di integrazione, ma soprattutto risolvere il limite per $x->+oo$

[Bokonon]

Quando effettui la sostituzione, ti conviene restare in t cambiando anche gli estremi di integrazione.
$int_0^(oo) 1/((e^x+2)*(e^x+1))dx=int_1^(oo) 1/(t(t+2)(t+3))dt$
La soluzione che hai trovato è corretta e conviene usare le proprietà dei logaritmi.
$1/2ln|t|+1/2ln|t+2|-ln|t+1|=ln(sqrt(t(t+2))/(t+1))$ (si possono rimuovere i moduli perchè t è sempre positivo)

$lim_(t->oo) ln(sqrt(t(t+2))/(t+1))=ln[lim_(t->oo) (sqrt(1+2/t))/(1+1/t)]=0$
Quindi il risultato è $-ln(sqrt(3)/2)$

[Aletzunny1]

Ringrazio entrambi...come spesso capita mi sono perso in un bicchiere d'acqua.
Grazie molte