Integrale Improprio
Ho questo limite da svolgere: \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1-2logx}{x^2} dx = \)
l'ho svolto nel modo seguente, ma vorrei sapere se è corretto.grazie
\(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1-2logx}{x^2} dx = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} -\frac{2logx}{x^2}dx = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace\int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx -2 \int_{1}^{b} \frac{logx}{x^2}dx\right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} +2 \int_{1}^{b} log x \left(- \frac{1}{x^2}\right) dx \right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace -\frac{1}{b}+1 +2 \left[\frac{logx}{x} - \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx \right] \right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace -\frac{1}{b}+1 +2 \left(\left[\frac{logx}{x} \right]_{1}^{b} - \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx \right) \right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace -\frac{1}{b}+1 +2 \left[\frac{logx}{x} \right]_{1}^{b} +2 \int_{1}^{b} -\frac{1}{x^2} dx \right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace -\frac{1}{b}+1 +2 \frac{logb}{b} +2 \left[\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}\right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace -\frac{1}{b}+1 +2 \frac{logb}{b} +\frac{2}{b}+2 \right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace \frac{2logb+1}{b} +3\right\rbrace} = 3\)
è corretto?
grazie x le risposte
l'ho svolto nel modo seguente, ma vorrei sapere se è corretto.grazie
\(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1-2logx}{x^2} dx = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} -\frac{2logx}{x^2}dx = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace\int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx -2 \int_{1}^{b} \frac{logx}{x^2}dx\right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} +2 \int_{1}^{b} log x \left(- \frac{1}{x^2}\right) dx \right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace -\frac{1}{b}+1 +2 \left[\frac{logx}{x} - \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx \right] \right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace -\frac{1}{b}+1 +2 \left(\left[\frac{logx}{x} \right]_{1}^{b} - \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx \right) \right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace -\frac{1}{b}+1 +2 \left[\frac{logx}{x} \right]_{1}^{b} +2 \int_{1}^{b} -\frac{1}{x^2} dx \right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace -\frac{1}{b}+1 +2 \frac{logb}{b} +2 \left[\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}\right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace -\frac{1}{b}+1 +2 \frac{logb}{b} +\frac{2}{b}+2 \right\rbrace} = \)
\(\displaystyle \lim_{b\to+\infty}{\left\lbrace \frac{2logb+1}{b} +3\right\rbrace} = 3\)
è corretto?
grazie x le risposte
Risposte
C'è qualcosa che non torna negli ultimi passaggi anche se il procedimento mi sembra ok 
( si chiamano integrali impropri
)
$int_(1)^(+oo) 1/x^2dx-int_(1)^(+oo) (2log(x))/x^2dx$
$lim_(T->+oo) int_(1)^(T) 1/x^2dx-int_(1)^(T) (2log(x))/x^2dx$
$lim_(T->+oo) [-1/x]_(1)^(T)+[(2(log(x)+1))/x]_(1)^(T)$
$lim_(T->+oo) -1/T+1+(2(log(T)+1))/T-2log(1)-2=-1$
( si chiamano integrali impropri
)$int_(1)^(+oo) 1/x^2dx-int_(1)^(+oo) (2log(x))/x^2dx$
$lim_(T->+oo) int_(1)^(T) 1/x^2dx-int_(1)^(T) (2log(x))/x^2dx$
$lim_(T->+oo) [-1/x]_(1)^(T)+[(2(log(x)+1))/x]_(1)^(T)$
$lim_(T->+oo) -1/T+1+(2(log(T)+1))/T-2log(1)-2=-1$
Innanzitutto grazie per la tua risposta e scusa se disturbo ancora ma non ho capito questo passaggio, puoi spiegarmelo?
perché $ -int_(1)^(T) (2log(x))/x^2dx=[(2(log(x)+1))/x]_(1)^(T)$ ?
io per risolvere questo integrale avevo usato l'integrazione per parti dove ponevo $f^{\prime}= -(1)/x^2$ dove $f=1/x$
tu invece come hai fatto?
grazie
"Obidream":
$lim_(T->+oo) int_(1)^(T) 1/x^2dx-int_(1)^(T) (2log(x))/x^2dx$
$lim_(T->+oo) [-1/x]_(1)^(T)+[(2(log(x)+1))/x]_(1)^(T)$
perché $ -int_(1)^(T) (2log(x))/x^2dx=[(2(log(x)+1))/x]_(1)^(T)$ ?
io per risolvere questo integrale avevo usato l'integrazione per parti dove ponevo $f^{\prime}= -(1)/x^2$ dove $f=1/x$
tu invece come hai fatto?
grazie
Allora $int_(1)^(T)(-2log(x))/x^2dx$
$-int_(1)^(T) (2log(x))/x^2 dx$
Quindi mi ricordo che c'è un segno $-2$ davanti che mi cambierà segno ( non mi piace portarmeli dietro
) ed integro per parti come hai fatto tu:
$int_(1)^(T) log(x)*(1/x^2) dx=-log(x)/x-int_(1)^(T) (-1/x)*(1/x)dx$
$int_(1)^(T)log(x)*(1/x^2) dx=-log(x)/x+int_(1)^(T)1/x^2dx$
$int_(1)^(T) log(x)*(1/x^2) dx=[-log(x)/x-1/x]_(1)^(T)=[(-log(x)-1)/x]_(1)^(T)$
Ora moltiplico per il $-2$ ed ottengo $[(2(log(x)+1))/x]_(1)^(T)$
$-int_(1)^(T) (2log(x))/x^2 dx$
Quindi mi ricordo che c'è un segno $-2$ davanti che mi cambierà segno ( non mi piace portarmeli dietro
) ed integro per parti come hai fatto tu:$int_(1)^(T) log(x)*(1/x^2) dx=-log(x)/x-int_(1)^(T) (-1/x)*(1/x)dx$
$int_(1)^(T)log(x)*(1/x^2) dx=-log(x)/x+int_(1)^(T)1/x^2dx$
$int_(1)^(T) log(x)*(1/x^2) dx=[-log(x)/x-1/x]_(1)^(T)=[(-log(x)-1)/x]_(1)^(T)$
Ora moltiplico per il $-2$ ed ottengo $[(2(log(x)+1))/x]_(1)^(T)$
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