Integrale fratto

[alessandra.dicarlo]

Ciao a tutti!!
mi sono incartata su questo integrale...ho provato e riprovato ma niente da fare!
$ int (x^2-3)/(x^3+4x) dx $
ho provato a distribuire
$ int x/(x^2+4)dx-int 3/(x^3+4x) dx $
e così so risolvere il primo integrale...ma non il secondo!
si accettano suggerimenti!!! grazie!!

[chiaraotta1]

$(x^2-3)/(x^3+4x)=7/4·x/(x^2 + 4) - 3/4 · 1/x$

[Gi81]

chiaraotta, alessandra non ha chiesto quello.

[alessandra.dicarlo]

ok, quindi il suggerimento di chiaraotta mi permette di risolvere direttamente l'integrale di partenza.
a me non sarebbe mai venuto in mente!!! c'è un metodo preciso per fare quella scomposizione??
per il secondo integrale invece?? cioè per
$ int 1/(x^3+4x)dx $
come posso fare?

[chiaraotta1]

$1/(x^3+4x)=1/4(1/x - x/(x^2 + 4))$

[giammaria2]

"alessandra.dicarlo": c'è un metodo preciso per fare quella scomposizione??

C'è e si chiama scomposizione in fratti semplici; prima devi controllare che il numeratore abbia grado inferiore al denominatore. Poi scomponi in fattori il denominatore e scrivi il tutto come somma di due o più frazioni, ognuna delle quali ha a denominatore uno di quei fattori ed a numeratore un polinomio a coefficienti incogniti di grado inferiore di $1$ al denominatore. Per meglio spiegarti come continuare, suppongo di dover integrare la frazione che scrivo qui sotto e che ha numeratore diverso dal tuo ma lo stesso denominatore:
$(3x^2-7x+1)/(x^3+4x)=A/x+(Bx+C)/(x^2+4)$
Do denominatore comune:
$Ax^2+4A+Bx^2+Cx=3x^2-7x+1$
$x^2(A+B)+Cx+4A=3x^2-7x+1$
Ma due polinomi sono identicamente uguali se hanno gli stessi coefficienti, quindi deve essere
${(A+B=3),(C=-7),(4A=1):}$
Risolvendo questo sistema trovo i valori dei coefficienti. Nel tuo esercizio hai $0$ al posto dei miei $3$ e $-7$.

Se per caso vedi a colpo d'occhio quali numeri scrivere al posto di $A,B,C$ è ovvio che il lavoro è molto minore; controlla però che dando denominatore comune si ottenga davvero il risultato voluto.

[alessandra.dicarlo]

intanto ti ringrazio tanto per il metodo della scomposizione che mi hai esposto.
chiedo scusa ho un'ultimo dubbio....quindi se a denominatore ci fosse un polinomio del tipo $(x-1)^2$, a numeratore va messa una costante, se invece a denominatore ho un polinomio di secondo grado, come nell'esempio, metto a numeratore un polinomio di primo grado. giusto?!

[giammaria2]

$(x-1)^2$ è di secondo grado, quindi a numeratore metti un polinomio di primo grado; metteresti una costante se non ci fosse l'elevazione a quadrato. Il resto va bene.
Questo metodo compare su tutti i testi di analisi; guarda anche sul tuo libro.

[alessandra.dicarlo]

grazie mille per le spiegazioni. Mi sono venuti tanti dubbi a riguardo perché quando si risolvono gli integrali fratti, in effetti, a numeratore si mettono solo costanti. (anche quando a denominatore si ha un polinomio di secondo grado!) cmq grazie ancora!