Integrale difficilino :)

[V3rgil]

Raga non so se sono di colpo diventato scemo xD ma non riesco a risolvere quest'integrale...
$int(t^2/(1+t^2)^3)$ sono riuscito semplicemente a scomporlo in due... $int(1/(1+t^2)^2-1/(1+t^2)^3)$ ma arrivato qua non riesco a capire... che fare... xD penso vada fatto per parti hm però sto continuando a provare ma nada ... eppure è una razionale fratta xD mi sembra troppo facile... per non riuscire a risolverla... magari c'è qualcosa a cui non sto pensando hm... Somebody can help me^^please?

[Sk_Anonymous]

Sostituendo $1+t^2=e^x$ si ha: $t^2=e^x-1$ e $t=sqrt(e^x-1)$ il cui differenziale è $dt=e^x/sqrt(e^x-1)$. L'integrale diventa: $(e^x-1)/(e^(3x))*e^x/sqrt(e^x-1)$, ovvero: $(e^x-1)/(e^(2x))*1/sqrt(e^x-1)\ = e^(-2x)*sqrt(e^x-1)*dx$. Integrando per parti si ricava: $-1/2e^(-2x)sqrt(e^x-1)+1/2e^(-2x)*e^x/sqrt(e^x-1)\ = -1/2e^(-2x)sqrt(e^x-1)+1/2e^(-x)*1/sqrt(e^x-1)\ =\ 1/2(e^(-x)/sqrt(e^x-1)-e^(-2x)*sqrt(e^x-1))$. Facendo le debite sostituzioni si ricava: $1/2(-ln(1+t^2))/t^2+2tln(1+t^2)$

[V3rgil]

Non mi trovo su alcune cose xD
- Andando a fare la prima radice quadrata non si esclude che t non possa essere negativa ? hm
($t^2=e^x-1$=>$t=sqrt(e^x-1)$)

- Poi se hai posto $f(x)=sqrt(e^x-1) e f'(x)=e^x/(2(sqrt(e^x-1))) e g(x)=e^(-2x) e g(x)=-1/2e^(-2x)$ la seconda parte dell'integrale sarebbe $-1/2e^(-2x)sqrt(e^x-1)+int(1/((4e^x)sqrt(e^x-1)))$

- Il penultimo passaggio non capisco che sostituzioni hai fatto hm

io stavo tentando un approccio più banalistico xD
$t=tgh => h=arctgt => dt=1/(cosh)^2$
Sostituendo verrebbe $int((senh)^2(cosh)^2)$ hm però non riesco lo stesso a risolverlo xD

[Sk_Anonymous]

$int((senh)^2(cosh)^2)dh=1/4 int sin^2(2h) dh=1/8 int (1+cos 4h) dh$ e così ti sembra più umano?

[V3rgil]

Sono riuscito a risolverlo basta integrale per parti... prendendo come derivata $t$ e come fattore da integrale $t/(1+t^2)^3$ poi il resto è semplice...

[Sk_Anonymous]

meglio così!