Integrale difficile

[red_michael]

Int(sqrt((2-x)/x))

[g.schgor1]

Non e' un integrale facile.

Proviamo a sostituire y=sqrt((2-x)/x),
da cui x=2/(1+y^2)
e dx=(-4*y/(1+y^2)^2)*dy.

Sostituendo ora questi nell'integrale originale
otteniamo: Int((-4*y^2)/(1+y^2)^2)*dy.

Questa e' una forma di cui si conosce il risultato
= 2*y/(1+y^2) + atan(y)
Quindi sostituendo y, si ottiene il risultato cercato
= 2*sqrt((2-x)/x) + atanh(sqrt((2-x)/x)).

ATTENZIONE il risultato corretto (cioe' che derivato
da' l'espressione originale) richiede l'arcotangente iperbolica
(mentre per semplice sostituzione sembrerebbe valida
l'arcotangente semplice).

Questo non me lo so spiegare e chiedo lumi a LUCA

G.Schgör

[Sk_Anonymous]

Anzitutto c'e' un errore di segno/fattore, in quanto si ha int((-4y^2)/(1+y^2)^2)dy=2*y/(1+y^2)-2atan(y)+C. Queste sono tutte le primitive, quindi non c'e' nessuna arctangente iperbolica in questione.


Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[david_e1]

Non mi sono messo a fare i conti (li avrei sbagliati sicuramente), ma mi limito a segnalarvi che il Maple sostiene che:

int(sqrt((2-x)/x)) = 2*(2-x)^(1/2)-2*2^(1/2)*atanh(1/2*(4-2*x)^(1/2))+C

E' tuttavia altresi' vero che la formula di Luca e' esatta (in ogni caso ho controllato). Cade l'unicita' a meno di costanti della primitiva o abbiamo trovato una nuova uguaglianza????? O il Maple e' impazzito??? (non e' la prima volte che tira fuori a sproposito l'atanh)

[Sk_Anonymous]

Beh, direi che maple sbaglia, a meno che le formule non coincidano per strane proprieta' delle funzioni iperboliche.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[david_e1]

Ho controllato e pare che il Maple abbia ragione... (pare perche' la derivata del suo risultato l'ho fatta fare ancora a lui per cui nn so')

Si non e' la prima volta che il maple se ne esce con queste cose. Spesso integra equazioni differenziali banalissime tirando fuori delle formule piene di tangenti iperboliche senza un motivo apparente. Una piccola indagine nei comandi del maple (in particolare su quello per risolvere le equazioni differenziali) ha evidenziato il fatto che lo strumento principale di risuluzione (quando non si ha a che fare con equazioni "famose") e' il cosi' detto "metodo delle simmetrie di Lie". Non conosco questo metodo, ma credo che sia il motivo per cui lui arrivi spesso a risultati quanto meno strani (e che difficilmente si riesce a ridimostrare a mano) (se non derivando...). Se qualcuno conosce questo benedetto metodo di Lie gli chiedo se effettivamente la mia sia una spiegazione plausibile....

Grazie.

PS: Non e' solo una curiosita' e' che io, ogni volta che posso, uso il Maple per fare queste cose e sapere se e dove sbaglia potrebbe essermi utile....

[Sk_Anonymous]

No, il mio era uno scherzo, non credo proprio che abbia sbagliato, almeno voglio sperare di no. Sono sicuro che usa metodi che lo portano all'uso di funzioni iperboliche (come quello di Lie). Sicuramente la soluzione da lui fornita coincide con quella da noi trovata.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[g.schgor1]

Impegni mi hanno impedito l'accesso ad Internet,
e solo ora posso rispondere, ringraziando LUCA
per la correzione (in effetti la soluzione doveva essere
scritta = sqrt(x^2-2*x)-2*atanh((x-2)/x) )
e precisando alcuni fatti.
Io non avevo dato molto importanza alla introduzione
dell'atanh, dovuto al rovesciamento di segno sotto radice,
perche' penso che Maple si basi sull'identita'
atan(i*z)=i*atanh(z) (la cui comune derivata e' =1/(1-z^2) )

Ora pero' ho trovato un soluzione piu' semplice, non
soggetta a questi inconvenienti:

=sqrt(2*x-x^2)+ asin(x-1)

Infatti derivando questa espressione si ritrova
sqrt((2-x)/x) cioe' l'integrando.
Questo e' anche confermato dalla prova di integrazione
numerica effettuata su queste espressioni.
Mi scuso quindi per la confusione creata.