Integrale di una funzione non definita

[giogiomogio]

Ciao a tutti,
se ho un integrale del tipo $lim_(\epsilon->0)int_(-\epsilon/2)^(\epsilon/2) 1/\epsilon f(t) dt $
che potrei scrivere cosi:
$lim_(\epsilon->0)1/\epsilon int_(-\epsilon/2)^(\epsilon/2) f(t) dt $
dato che la funzione non la conosco allora posso risolvere in questo modo l'integrale:
$lim_(\epsilon->0)1/\epsilon (F(\epsilon/2)-F(-\epsilon/2))=lim_(\epsilon->0)(F(\epsilon/2)-F(-\epsilon/2))/\epsilon$
questo limite mi ricorda molto il limite della derivata e cioè:

$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=f'(x_0)$

La domanda è: questo limite: $lim_(\epsilon->0)(F(\epsilon/2)-F(-\epsilon/2))/\epsilon$ può essere riconducibile a:
$F'(0)=f(0)$ ???

Se effettivamente quello che ho scritto è corretto... come mai lo è? ve lo chiedo perche se guardo attentamente i 2 limiti non sono del tutto uguali.

Grazie

[giammaria2]

"giogiomogio":questo limite: $lim_(\epsilon->0)(F(\epsilon/2)-F(-\epsilon/2))/\epsilon$ può essere riconducibile a:
$F'(0)=f(0)$ ???

Premesso che non garantisco niente perché è la prima volta che affronto un esercizio simile, direi di sì; infatti posto $x_0=-epsilon/2$ ottieni

$=lim_(\epsilon->0)(F(x_0+epsilon)-F(x_0))/epsilon=lim_(\epsilon->0)f(x_0)=f(0)$

[giogiomogio]

Grazie quindi in teoria arrivo:

$ =lim_(\epsilon->0)(F(x_0+epsilon)-F(x_0))/epsilon=lim_(\epsilon->0)F'(-epsilon/2)=F'(0)=f(0) $

solo perche $\epsilon->0$
posso passare da questa forma:
$F'(-epsilon/2)$
a questa
$F'(0)$

giusto?

[giammaria2]

Sia da quello che dal fatto che l'intervallo era lungo $epsilon$; la mia perplessità derivava dal fatto di dover usare due volte $epsilon->0$. Comunque la soluzione è confermata dal teorema di De l'Hospital, col quale si ha

$lim_(\epsilon->0)(F(\epsilon/2)-F(-\epsilon/2))/\epsilon=lim_(\epsilon->0)(F'(epsilon/2)*1/2-F'(-epsilon/2)*(-1/2))/1=1/2f(0)+1/2f(0)=f(0)$

[giogiomogio]

Perfetto grazie comunque questi passaggi sotto stanti sono del tutto leciti giusto?

$ =lim_(\epsilon->0)(F(x_0+epsilon)-F(x_0))/epsilon=lim_(\epsilon->0)F'(-epsilon/2)=F'(0)=f(0) $

grazie

[giammaria2]

Giusto.