Integrale di una funzione irrazionale
Buonasera a tutti!
Devo calcolare l'integrale $\intsqrt(a^2+x^2)dx$. Posto $sqrt(a^2+x^2)=t-x$, ottengo dopo alcuni passaggi che ometto, il seguente risultato in funzione di $t$: $(a^2ln|t|)/2+(t^4-a^4)/(8t^2)$. Dovrei ora trasformare tale risultato in funzione di $x$ operando la sostituzione: $t=sqrt(a^2+x^2)+x$; tuttavia i calcoli risultano piuttosto laboriosi e non arrivo a nulla di semplice.
Qualcuno avrebbe dei suggerimenti da darmi?
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta!
Andrea
Devo calcolare l'integrale $\intsqrt(a^2+x^2)dx$. Posto $sqrt(a^2+x^2)=t-x$, ottengo dopo alcuni passaggi che ometto, il seguente risultato in funzione di $t$: $(a^2ln|t|)/2+(t^4-a^4)/(8t^2)$. Dovrei ora trasformare tale risultato in funzione di $x$ operando la sostituzione: $t=sqrt(a^2+x^2)+x$; tuttavia i calcoli risultano piuttosto laboriosi e non arrivo a nulla di semplice.
Qualcuno avrebbe dei suggerimenti da darmi?
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta!
Andrea
Risposte
Effettivamente questo ingrale richiede calcoli molto lunghi, tanto che quasi tutti i libri lo riportano come un integrale fondamentale, di cui studiare a memoria la soluzione, che è $a^2/2 ln(x+\sqrt(a^2+x^2))+x/2 \sqrt(a^2+x^2)$.
Se conosci già la formula $A =\int 1/(\sqrt(a^2+x^2))dx=ln(x+sqrt(a^2+x^2))$ (anche lei di solito ricordata a memoria: si dimostra facilmente derivando il risultato e comunque si calcola un po' più facilmente della tua) puoi anche usare questo metodo: integra per parti assumendo 1 come fattore differenziale, poi a numeratore poni $x^2=x^2+a^2-a^2$: detto B il tuo integrale, arrivi a $B=x \sqrt(a^2+x^2)-B+A$ e da questa equazione ricavi B.
Se conosci già la formula $A =\int 1/(\sqrt(a^2+x^2))dx=ln(x+sqrt(a^2+x^2))$ (anche lei di solito ricordata a memoria: si dimostra facilmente derivando il risultato e comunque si calcola un po' più facilmente della tua) puoi anche usare questo metodo: integra per parti assumendo 1 come fattore differenziale, poi a numeratore poni $x^2=x^2+a^2-a^2$: detto B il tuo integrale, arrivi a $B=x \sqrt(a^2+x^2)-B+A$ e da questa equazione ricavi B.
Ringrazio giammaria per la risposta!
Avevo pensato al metodo suggeritomi da giammaria, però credevo che procedendo con le sostituzioni indicate dal mio libro di testo i calcoli fossero più agevoli... ma evidentemente mi sbagliavo!
Allora quando mi trovo dinnanzi ad integrali come quello da me proposto, mi sconsigliate di usufruire delle sostituzioni di Eulero?
Per fissare le idee, se dovessi calcolare l'integrale $int sqrt(x^2+1) dx$ mi consigliate di procedere con l'integrazione per parti o con la sostituzione di Eulero (indicata dal mio libro di testo)?
Avevo pensato al metodo suggeritomi da giammaria, però credevo che procedendo con le sostituzioni indicate dal mio libro di testo i calcoli fossero più agevoli... ma evidentemente mi sbagliavo!
Allora quando mi trovo dinnanzi ad integrali come quello da me proposto, mi sconsigliate di usufruire delle sostituzioni di Eulero?
Per fissare le idee, se dovessi calcolare l'integrale $int sqrt(x^2+1) dx$ mi consigliate di procedere con l'integrazione per parti o con la sostituzione di Eulero (indicata dal mio libro di testo)?
Credo che i calcoli non siano molto diversi (nell'esercizio precedente avevi sbagliato il calcolo del secondo termine), vedi tu con quale metodo ti trovi più a tuo agio.
Quale calcolo avevo sbagliato?
Non so, ma il numeratore del secondo addendo non è corretto.
Ma dovendo calcolare l'integrale proposto all'inizio con la sostituzione, ci sono dei modi per ovviare alla tediosa sostituzione? Vengono dei calcoli parecchio lunghi... Altrimenti mi rassegno!!
Volendo usare la sostituzione, io suggerirei x=a tg t, seguita da sen t = u, ma anche questo metodo non è breve.
Ringrazio tutti per le risposte!
Alla fine ho risolto l'esercizio. Mi sono reso conto che con la sostituzione $x=asinht$ si procedeva più speditamente! Credo che in casi del genere la sostituzione di funzioni iperboliche sia la scelta più semplice.
Andrea
Alla fine ho risolto l'esercizio. Mi sono reso conto che con la sostituzione $x=asinht$ si procedeva più speditamente! Credo che in casi del genere la sostituzione di funzioni iperboliche sia la scelta più semplice.
Andrea
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