Integrale di (tanx)^3

[oromiscanneto]

Buonasera, vorrei proporvi la mia risoluzione dell'integrale di tangente al cubo di x: per qualche motivo è sbagliato ma non riesco a capire quale.

RISULTATO integral (tan(x))^3 dx = (sec(x))^2 + log(cos(x))+constant

MIO PROCEDIMENTO: ho scelto di procedere per sostituzione, tan(x)=t. Per x strettamente compreso tra -p greco/2 e p greco/2 vale x=arctan(t) e dx=(1+t^2)(^-1)dt.

Quindi integral (tan(x))^3 dx = integral t^3/(1+t^2) dt.
Ho quindi diviso numeratore e denominatore
integral (t- t/(1+t^2)) dt= t^2/2-(ln(1+t^2))/2 + c

Ho sostituito nuovamente tan(x) a t e così il primo addendo non è come da risultato ma è (tan(x))^2

Grazie

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Credo che il risultato riportato dal libro (o da qualche software) sia

[math]\int \tan^3 x\,dx = \frac{\sec^2 x}{2} + \log|\cos x| + c[/math]

, mentre il risultato da
te trovato è pari a

[math]\int \tan^3 x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} + \log|\cos x| + c\\[/math]

.

Chi sbaglia? Nessuno!! Infatti, bada bene che si ha:

[math]\frac{\sec^2 x}{2} = \frac{1}{2 \cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{2 \cos^2 x} = \frac{\tan^2 x}{2} + \frac{1}{2}[/math]

,
dove la costante

[math]\frac{1}{2}[/math]

può essere benissimo assorbita
dalla costante arbitraria

[math]c[/math]

. In altri termini, scrivere

[math]\dots + c[/math]

oppure

[math]\dots + \frac{1}{2} + c[/math]

o ancora

[math]\dots + k[/math]

,
è la stessa cosa!!

Concludo ricordando che per essere sicuri di aver integrato
correttamente, basta che poi si derivi la primitiva: se si
ritorna all'integranda allora è tutto corretto, altrimenti c'è
sicuramente qualche errore. ;)

[oromiscanneto]

Risposta esauriente, grazie mille