Integrale di funzione

[laurabf]

Buonasera.avrei un dubbio...devo risolvere questo esercizio $ lim_(x -> 0)1/x int_(x)^(2x) sin(t)/t dt $
Al di là del limite vorrei chiedere come poter trovare f(x),visto che il testo mi dice che sostituendo gli estremi di integrazione arrivo a trovare F'(x)...grazie mille!

[Studente Anonimo]

Ciao, mi pare che si possa usare L'Hopital. Se chiami $F(t)$ una primitiva di $sin(t)/t$ (non c'è bisogno di conoscere $F(t)$ esplicitamente) allora il limite che devi calcolare è

$lim_(x to 0) (F(2x)-F(x))/x$.

Si tratta di una forma indeterminata del tipo $0/0$. Ora prova a usare L'Hopital.

[laurabf]

Grazie mille per la risposta!!
Anche io effettivamente avevo operato cosi,ma F(2x) e analogamente F(x) sono già le derivate da usare nella formula di l'Hopital?o devo derivare nuovamente??
Ripeto al di là del limite,quello che mi risulta poco chiaro è come risolvere l'integrale di quel tipo...

[ingres]

E' meglio precisare che l'integrale in questione non è risolubile con metodi elementari. Pertanto si definisce una funzione speciale Seno Integrale Si(x) per rappresentarlo

https://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_ ... nometriche

Quindi possiamo dire che, a meno di una costante, F(x)=Si(x). Per applicare De l'Hopital dovrai derivare F, ma attenzione che nel caso di F(2x) si tratta di una funzione composta.

[laurabf]

Ho capito...grazie!!quindi a meno della conoscenza del seno integrale non era possibile risolvere questo esercizio?
Inoltre in linea di massima quindi quando ho un integrale definito tra 2 funzioni di x,posso integrare tradizionalmente utilizzando la regola di Torricelli per trovare la f(x) o si utilizza un altro procedimento?

[Studente Anonimo]

"bi8":Ho capito...grazie!!quindi a meno della conoscenza del seno integrale non era possibile risolvere questo esercizio?

Ehm, non è questo che stiamo dicendo.

Stiamo dicendo che l'esercizio si può risolvere benissimo (cioè quel limite si può effettivamente calcolare) senza conoscere esplicitamente una primitiva di $sin(t)/t$, ti basta sapere che esiste, chiamala $F(t)$. In questo modo la derivata di $F(t)$ è uguale a $sin(t)/t$. Ora applichi De l'Hopital come ti ho indicato nel post precedente ricordando che sai benissimo chi è la derivata di $F(t)$ (ed è questo che ti serve per procedere). La derivata di $F(t)$ è $sin(t)/t$.

[laurabf]

Ho messo insieme le cose che mi avete detto e l'ho svolto...unico inconveniente come risultato mi esce $ oo $ e non 1, come indicato dal mio testo...

[@melia]

Quindi c'è qualcosa che non va, proviamo

$ lim_(x -> 0)1/x int_(x)^(2x) sin(t)/t dt = lim_(x -> 0)1/x (F(2x)-F(x))=lim_(x -> 0)(F(2x)-F(x))/x$

si tratta di una forma indeterminata $0/0$ quindi è possibile applicare De l'Hopital

$lim_(x -> 0)(F(2x)-F(x))/x=lim_(x -> 0)(F'(2x)-F'(x))/1=lim_(x -> 0) (2*sin(2x)/(2x)-sinx/x) $

si tratta di limiti notevoli, infatti $lim_(f(x) -> 0)sinf(x)/(f(x))=1$, nel nostro caso particolare $lim_(x -> 0) sin(2x)/(2x)=lim_(x -> 0) sinx/x=1 $

Riassumendo $lim_(x -> 0) (2*sin(2x)/(2x)-sinx/x) = 2-1=1$

[laurabf]

Giustoooo....avevo fatto un errore di distrazione,non avendo derivato la x che era al denominatore...grazie mille!!