Integrale definito di seno quadro

[Samu30]

Salve, vi scrivo per chiedervi di aiutarmi nella risoluzione di un problema algebrico che mi sono ritrovato ad affrontare all'interno di un esercizio di fisica. L'esercizio in particolare è preso dalla fase nazionale delle olimpiadi di fisica del 1998 (il numero 3, ndr) e il problema che mi riguarda è proprio nell'ultima parte dell'esercizio. Operando l'equivalenza tra due forze, si ottiene una equazione in cui compare sia un seno quadro di omega per t, sia un coseno quadro di omega per t. In realtà, queste due forze non sono costanti nel tempo e l'equivalenza precedente si riferisce al valor medio delle due forze. Consultando la risoluzione dell'esercizio, ho letto che per la risoluzione occorre semplicemente indicare che sia il valor medio del seno quadro che del coseno quadro siano uguali ad un mezzo. io ho cercato di interpretare questa affermazione secondo la seguente formula:



Secondo voi ho interpretato bene? E, nel caso, potreste darmi una mano a capire i passi attraverso i quali poter risolvere questo integrale?

[Giusepperoma2]

per risolvere l'integrale,

sostituisci omega*t con x

il problema si riduce a risolvere l'integrale di

sen^2(x)

che si fa facilmente per parti...

[Samu30]

Ok, in questo caso ottengo un nuovo differenziale rispetto al quale integrare la funzione: dt/omega. Mettiamo che porto fuori l'1/omega. Rimane l'equazione indicata da Giusepperoma il cui risultato dovrebbe essere:

-1/2*senx*cosx + x/2

(a meno che non abbia sbagliato qualche calcolo). Adesso devo semplicemente sostituire la x con omega*t? Oppure devo anche moltiplicare il tutto per 1/omega?
E comunque, mi confermate la giusta interpretazione che ho dato alla risoluzione algebrica? Non capisco come si possa ottenere, dall'integrale definito, il risultato finale di 1/2 se non si conosce il valore di omega...

[Giusepperoma2]

la soluzione dell'integrale e' corretta.

ora devi sostituire omega*t alla x e dividere tutto per omega.

quindi viene

[Ot-sen(Ot)cos(Ot)]/2O

dove O = omega

che va calcolato fra 0 e 2PI

che fa

PI

ti torna?

[Samu30]

No, scusami Giuseppe, ma sono veramente duro, non so come devo comportarmi con omega.
La tua risposta mi è chiara, ma soltanto se non consideriamo "l'impulso" (ossia omega). Cosa devo fare?

[JvloIvk]

Samu non ho letto il problema che dici,ma ad occhio direi che t non va da 0 a $2pi$,semmai è l'angolo $\omega t$.In pratica il valore medio si trova con la il teorema della media integrale. Il valore medio della funzione $f(x)$ nell'intervallo $[a,b]$ è $\bar (f) =1/(b-a) \int_a^b f(x)dx$.
Nel tuo caso $\bar (f) =1/(2pi) \int_0^(2pi) sen^2xdx=1/2$

[Samu30]

Ok, sono riuscito a risolvere l'integrale definito sfruttando il teorema della media integrale con periodo da 0 a 2pi/omega.
Adesso mi ricordo però che, a suo tempo, la prof ci indicò una formula trigonometrica che avrebbe dovuto aiutarci nella risoluzione riportando al primo grado la funzione sinusoidale (e quindi evitandoci di fare l'integrazione per parti. Mi pare di ricordare una cosa tipo 1/2(1-senx), sulla quale però nutro delle serie perplessità. Qualcuno ha capito a cosa mi riferisco?