Integrale definito
Buonasera, scusate il disturbo, scrivo quest'integrale, volevo chiedere se potesse essere fattibile un trucchetto con i logaritmi come vedrete di seguito o se invece è errato.
$int logx/(sqrtx)$
spacco in 2 il logaritmo e quindi anche l'imtegrale
$int ((logsqrtx)/sqrtx+ (logsqrtx)/sqrtx)$
$int (logsqrtx)/sqrtx+int (logsqrtx)/sqrtx$
$2int (logsqrtx)/sqrtx$
continuo a farlo per parti dove $F=logsqrtx$... $F'=1/sqrtx$... $G=2/3x^(3/2)$... $G'=sqrtx$
$2(log(sqrtx)*2/3x^(3/2)+int 1/sqrtx(2/3)x^(3/2)dx)$
$2(log(sqrtx)*2/3x^(3/2)+int 2/sqrtx(2/3)x^(3/2)dx)$
$2(log(sqrtx)*2/3x^(3/2)+int 2x^(3/2-1/2)dx)$
$2(log(sqrtx)*2/3x^(3/2)+int 2xdx)$
poi dato che era definito da $1$ a $e$ mi esce
$2log(sqrte)(2/3e^(3/2))+2/3e^2-2/3$
$(2/3e^(3/2))+2/3e^2-2/3$
fatemi sapere se per voi è giusto....
........modifico il messaggio:NO ragazzi mi sono accorto che cè un errore la derivata di $logsqrtx$ è $1/2*1/x$ domani correggo meglio, purtroppo sbaglio per stanchezza
Cordiali saluti
$int logx/(sqrtx)$
spacco in 2 il logaritmo e quindi anche l'imtegrale
$int ((logsqrtx)/sqrtx+ (logsqrtx)/sqrtx)$
$int (logsqrtx)/sqrtx+int (logsqrtx)/sqrtx$
$2int (logsqrtx)/sqrtx$
continuo a farlo per parti dove $F=logsqrtx$... $F'=1/sqrtx$... $G=2/3x^(3/2)$... $G'=sqrtx$
$2(log(sqrtx)*2/3x^(3/2)+int 1/sqrtx(2/3)x^(3/2)dx)$
$2(log(sqrtx)*2/3x^(3/2)+int 2/sqrtx(2/3)x^(3/2)dx)$
$2(log(sqrtx)*2/3x^(3/2)+int 2x^(3/2-1/2)dx)$
$2(log(sqrtx)*2/3x^(3/2)+int 2xdx)$
poi dato che era definito da $1$ a $e$ mi esce
$2log(sqrte)(2/3e^(3/2))+2/3e^2-2/3$
$(2/3e^(3/2))+2/3e^2-2/3$
fatemi sapere se per voi è giusto....
........modifico il messaggio:NO ragazzi mi sono accorto che cè un errore la derivata di $logsqrtx$ è $1/2*1/x$ domani correggo meglio, purtroppo sbaglio per stanchezza
Cordiali saluti
Risposte
Suggerimento: scrivila come
$2intlogx*1/(2sqrtx)dx$
e poi integra per parti.
$2intlogx*1/(2sqrtx)dx$
e poi integra per parti.
Aspetta forse però viene anche tenendo l'integrale nella forma
$2int (logsqrtx)/sqrtx$
$F=logsqrtx$----$F'=1/2*1/x$-----$G=1/(1/2)x^(1/2)$-----$G'=x^(-(1/2))$
$logsqrtx*2x^(1/2)-int(1/2*1/x)2x^(1/2)$
$2x^(1/2)logsqrtx-intx^(-1/2)dx$
$2(2x^(1/2)logsqrtx -2x^(1/2))$
$2int (logsqrtx)/sqrtx$
$F=logsqrtx$----$F'=1/2*1/x$-----$G=1/(1/2)x^(1/2)$-----$G'=x^(-(1/2))$
$logsqrtx*2x^(1/2)-int(1/2*1/x)2x^(1/2)$
$2x^(1/2)logsqrtx-intx^(-1/2)dx$
$2(2x^(1/2)logsqrtx -2x^(1/2))$
Non ho la pazienza di seguire tutti i tuoi calcoli, abbastanza laboriosi. I miei, riprendendo l'esercizio dal punto in cui l'ho lasciato, sono:
$=2(sqrtxlnx-intsqrtx*1/xdx)=2(sqrtxlnx-2int1/(2sqrtx)dx)=2(sqrtxlnx-2sqrtx)+c=2sqrtx(lnx-2)+c$
Tu invece arrivi a
$x^(1/2)logsqrtx-2/9x^(3/2)=1/2sqrtxlnx-2/9xsqrtx=sqrtx(1/2lnx-2/9x)$
Qualcosa non va.
$=2(sqrtxlnx-intsqrtx*1/xdx)=2(sqrtxlnx-2int1/(2sqrtx)dx)=2(sqrtxlnx-2sqrtx)+c=2sqrtx(lnx-2)+c$
Tu invece arrivi a
$x^(1/2)logsqrtx-2/9x^(3/2)=1/2sqrtxlnx-2/9xsqrtx=sqrtx(1/2lnx-2/9x)$
Qualcosa non va.
L'errore che ho fatto era quello di scrivere $G'=x^(1/2)$ invece $G'=x^(-1/2)$....modifico il messaggio al piu presto.
.....Ma c'è un 'ma'....scusa giammaria, c'è una cosa che non mi torna lo stesso, l'integrale di partenza era $int logx/sqrtx$
io l'ho modificato facendo
$int ((logx^(1/2)+logx^(1/2)))/sqrtx$
quindi
$2int(logsqrtx)/sqrtxdx$
però tu vedo che l'hai scritto cosi:
$2intlogx(1/2)1/sqrtx$
quindi mi sa che i risultati ci vengono diversi anche perchè mi sembrano 2 integrali diversi, però ovviamente sbaglio sempre io
quindi va be aspetto che mi vieni a illuminare.
Grazie
Cordiali saluti
.....Ma c'è un 'ma'....scusa giammaria, c'è una cosa che non mi torna lo stesso, l'integrale di partenza era $int logx/sqrtx$
io l'ho modificato facendo
$int ((logx^(1/2)+logx^(1/2)))/sqrtx$
quindi
$2int(logsqrtx)/sqrtxdx$
però tu vedo che l'hai scritto cosi:
$2intlogx(1/2)1/sqrtx$
quindi mi sa che i risultati ci vengono diversi anche perchè mi sembrano 2 integrali diversi, però ovviamente sbaglio sempre io
quindi va be aspetto che mi vieni a illuminare.Grazie
Cordiali saluti
No, i due integrali sono uguali; io ho solo moltiplicato e diviso per 2. L'ho fatto per avere $1/(2sqrtx)$, che riconosco come la derivata di $sqrtx$.
Quanto al tuo metodo, forse correggendo l'errore che tu stesso hai visto si ha un risultato giusto. Io però trovo scomodo lavorare con le radici e quindi dopo il tuo primo passaggio farei la sostituzione $sqrtx=u->x=u^2->dx=2udu$, con la quale
$2int(logsqrtx)/sqrtx dx=2int(logu)/u*2udu=4intlogudu$
che va comunque integrata per parti, assumendo $1$ come fattore differenziale.
Quanto al tuo metodo, forse correggendo l'errore che tu stesso hai visto si ha un risultato giusto. Io però trovo scomodo lavorare con le radici e quindi dopo il tuo primo passaggio farei la sostituzione $sqrtx=u->x=u^2->dx=2udu$, con la quale
$2int(logsqrtx)/sqrtx dx=2int(logu)/u*2udu=4intlogudu$
che va comunque integrata per parti, assumendo $1$ come fattore differenziale.
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