Integrale con radici quadrate...
Come posso risolvere
\(\int\)\(\sqrt{9t^4+16t^2}dt \)
Ho provato sostituendo \(\ t^2 = x \) ma non mi porta a nulla...
Probabilmente la soluzione è facile ma non la vedo...
Grazie per i suggerimenti
PS:
L'esercizio proposto è sulle curve piane... e per determinarne la lunghezza che mi sono trovato con questo integrale...
\(\int\)\(\sqrt{9t^4+16t^2}dt \)
Ho provato sostituendo \(\ t^2 = x \) ma non mi porta a nulla...
Probabilmente la soluzione è facile ma non la vedo...
Grazie per i suggerimenti
PS:
L'esercizio proposto è sulle curve piane... e per determinarne la lunghezza che mi sono trovato con questo integrale...
Risposte
E se provassi a raccogliere un $t^2$ e a portarlo fuori radice?
Si l'ho fatto ma poi mi resta sempre la radice e t^2 dentro la radice...e poi?
Forse poi per parti?!
Forse poi per parti?!
E poi sostiutisci ponendo tutto il radicando uguale a x.
Se raccogli $t^2$ e lo porti fuori ottieni
$t\sqrt(9t^2+16)$
del tipo (circa, serve solo qualche costante da moltiplicare/dividere)
$f'(x) \sqrt(f(x))$...
$t\sqrt(9t^2+16)$
del tipo (circa, serve solo qualche costante da moltiplicare/dividere)
$f'(x) \sqrt(f(x))$...
Scusate ma $sqrt(t^2)=|t|$ quindi a questo punto non si dovrebbe distinguere $t>=0$ e $t<0$?
"Obidream":
Scusate ma $sqrt(t^2)=|t|$ quindi a questo punto non si dovrebbe distinguere $t>=0$ e $t<0$?
Giusto, però l'integrale, a detta di funz15, viene fuori da una parametrizzazione.
Se la parametrizzazione è tale che $t\in [a,b]$ con $a,b$ reali entrambi positivi o negativi il problema ha una soluzione facile.
Ah ok 
è che vedendolo in secondaria di II grado ho voluto precisare, visto che purtroppo alle superiori molti professori evitano di specificare 
è che vedendolo in secondaria di II grado ho voluto precisare, visto che purtroppo alle superiori molti professori evitano di specificare
"Obidream":
Ah ok
Infatti hai ragione, in generale sono io che mi sono dimenticato di dire la stessa cosa: però se vale il fatto che $t\in [a,b]$ con $a,b$ dello stesso segno, penso che la mia soluzione è più semplice (magari dico così perché sono "affezionato" agli integrali della forma $f'(x) f^(m/n) (x)$).
Sisi, tanto che sia $-t$ o $t$ alla fine si risolve sempre allo stesso modo 
Giusto! Grazie per i consigli. E pensare che ci avevo anche pensato, ma non ci credevo sino in fondo...
Dunque vediamo se ho capito:
\(\int \sqrt {9t^4+16t^2}dt\) = \(\int t \sqrt {9t^2+16}dt\) = \(\frac {1}{18}\int 18t(9t^2 + 16)^\frac {1}{2}dt\)
a questo punto, posto \(s = (9t^2 + 16)\) e di conseguenza \(ds = 18t dt\) ;
quindi l'integrale con il cambio di variabile diventa del tipo:
\(\frac {1}{18}\int 18t(9t^2 + 16)^\frac {1}{2}dt\) = \(\frac {1}{18}\int s^\frac {1}{2}ds\) = \(\frac {1}{18}\frac {2}{3}s^\frac {3}{2}\) = \(\frac {1}{27} \sqrt {(9t^2+16)^{3}} \) a meno della costante che non mi interessa perchè è un integrale definito da calcolare tra -2 e 2.
Quello che per ora non mi è chiaro è che comunque devo considerare la questione del modulo... ora ci penso.
Grazie a tutti.
Grazie per i consigli. E pensare che ci avevo anche pensato, ma non ci credevo sino in fondo... Dunque vediamo se ho capito:
\(\int \sqrt {9t^4+16t^2}dt\) = \(\int t \sqrt {9t^2+16}dt\) = \(\frac {1}{18}\int 18t(9t^2 + 16)^\frac {1}{2}dt\)
a questo punto, posto \(s = (9t^2 + 16)\) e di conseguenza \(ds = 18t dt\) ;
quindi l'integrale con il cambio di variabile diventa del tipo:
\(\frac {1}{18}\int 18t(9t^2 + 16)^\frac {1}{2}dt\) = \(\frac {1}{18}\int s^\frac {1}{2}ds\) = \(\frac {1}{18}\frac {2}{3}s^\frac {3}{2}\) = \(\frac {1}{27} \sqrt {(9t^2+16)^{3}} \) a meno della costante che non mi interessa perchè è un integrale definito da calcolare tra -2 e 2.
Quello che per ora non mi è chiaro è che comunque devo considerare la questione del modulo... ora ci penso.
Grazie a tutti.
Non è difficile
In fondo l'integrale va semplicemente spezzato considerando quando $t<0$ e quando $t>=0$ quindi:
$int_(-2)^0 -tsqrt(9t^2+16)dt+int_(0)^2 tsqrt(9t^2+16)dt$
E al posto della sostituzione potresti osservare che moltiplicando e dividendo per un opportuna costante non nulla l'integrale si può ricondurre nella forma $int f'(x)*[f(x)]^\alphadx=[f(x)]^(\alpha+1)/(\alpha+1)$ con $\alpha!=-1$
In questo caso se scrivi l'integrale come
$-1/18 int_(-2)^0 18tsqrt(9t^2+16)dt+1/18int_(0)^2 18tsqrt(9t^2+16)dt$
trovi il risultato velocemente
In fondo l'integrale va semplicemente spezzato considerando quando $t<0$ e quando $t>=0$ quindi:
$int_(-2)^0 -tsqrt(9t^2+16)dt+int_(0)^2 tsqrt(9t^2+16)dt$
E al posto della sostituzione potresti osservare che moltiplicando e dividendo per un opportuna costante non nulla l'integrale si può ricondurre nella forma $int f'(x)*[f(x)]^\alphadx=[f(x)]^(\alpha+1)/(\alpha+1)$ con $\alpha!=-1$
In questo caso se scrivi l'integrale come
$-1/18 int_(-2)^0 18tsqrt(9t^2+16)dt+1/18int_(0)^2 18tsqrt(9t^2+16)dt$
trovi il risultato velocemente
Un metodo alternativo è notare che la funzione integranda è pari e gli estremi sono simmetrici rispetto allo zero; quindi
$int_(-2)^2sqrt(9t^4+16t^2)dt=2int_0^2sqrt(9t^4+16t^2)dt=2int_0^2tsqrt(9t^2+16)dt=...$
$int_(-2)^2sqrt(9t^4+16t^2)dt=2int_0^2sqrt(9t^4+16t^2)dt=2int_0^2tsqrt(9t^2+16)dt=...$
Mi spiace ma non ho capito....mi sà che ero assente a quella lezione!
Allora, \(\sqrt {a} ^2 =|a| \) non c'è problema....
Quando invece si deve calcolare l'integrale definito, se gli intervalli di integrazione sono di segno opposto occorre dividere l'integrale in due, giusto? Ma perché? Eppoi uno dei due bisogna cambiarlo di segno?
Qualcuno può spiegarmi in poche parole la teoria dietro a questo? Ha per caso a che fare con "rendere positive" aree negative ( se f(x)) o volumi negativi (se f(x,y))?!)
Perchè se non ricordo male il significato geometrico di integrazione è misurare l'area sottesa alla funzione tra gli estremi di derivazione, quindi se a,b sono gli estremi tali che a,b appartengono a R e sono entrambi positivi o negativi, Area = F(b)-F(a), (con a
Allora come funziona se a,b sono di segno opposto?!
Scusatemi l'ignoranza...!
PS: ho una domanda per Obidream e Zero87: la formula $int f'(x)*[f(x)]^\alphadx=[f(x)]^(\alpha+1)/(\alpha+1)$ con $\alpha!=-1$
si può applicare solo per esponenti RAZIONALI o esponenti REALI? Perchè Zero87 scrive gli integrali nella forma $f'(x) f^(m/n) (x)$).... vale solo per (m/n)?
Grazie ancora a tutti..!
Allora, \(\sqrt {a} ^2 =|a| \) non c'è problema....
Quando invece si deve calcolare l'integrale definito, se gli intervalli di integrazione sono di segno opposto occorre dividere l'integrale in due, giusto? Ma perché? Eppoi uno dei due bisogna cambiarlo di segno?
Qualcuno può spiegarmi in poche parole la teoria dietro a questo? Ha per caso a che fare con "rendere positive" aree negative ( se f(x)) o volumi negativi (se f(x,y))?!)
Perchè se non ricordo male il significato geometrico di integrazione è misurare l'area sottesa alla funzione tra gli estremi di derivazione, quindi se a,b sono gli estremi tali che a,b appartengono a R e sono entrambi positivi o negativi, Area = F(b)-F(a), (con a
Allora come funziona se a,b sono di segno opposto?!
Scusatemi l'ignoranza...!
PS: ho una domanda per Obidream e Zero87: la formula $int f'(x)*[f(x)]^\alphadx=[f(x)]^(\alpha+1)/(\alpha+1)$ con $\alpha!=-1$
si può applicare solo per esponenti RAZIONALI o esponenti REALI? Perchè Zero87 scrive gli integrali nella forma $f'(x) f^(m/n) (x)$).... vale solo per (m/n)?
Grazie ancora a tutti..!
Pensa di disegnare la curva $y=sqrt(9x^4+16x^2)$: anche senza studiarne l'andamento, puoi subito dire che è simmetrica rispetto all'asse $y$ e quindi l'area sottostante alla curva nell'intervallo $(-2,0)$ è uguale a quella nell'intervallo $(0,2)$. Per avere l'area complessiva ti basta quindi calcolare una sola delle due aree e raddoppiare il risultato.
Il metodo indicato da Obidream è più generale perché va bene anche se la funzione non è pari o gli estremi di integrazione non sono uguali e contrari; nel tuo caso però il mio è più comodo perché consente di ragionare con i soli numeri positivi e, contenendo uno zero, velocizza i calcoli finali.
Il metodo indicato da Obidream è più generale perché va bene anche se la funzione non è pari o gli estremi di integrazione non sono uguali e contrari; nel tuo caso però il mio è più comodo perché consente di ragionare con i soli numeri positivi e, contenendo uno zero, velocizza i calcoli finali.
Si ho capito, quando la funzione è pari e l'intervallo di integrazione è simmetrico basto calcolare l'area del primo quadrante e poi duplicarla....
ma non mi è chiaro il passaggio di "spezzare" l'integrale e poi cambiare il segno... non c'entra niente con il modulo giusto? quella è un'altra cosa...
ma non mi è chiaro il passaggio di "spezzare" l'integrale e poi cambiare il segno... non c'entra niente con il modulo giusto? quella è un'altra cosa...
È precisamente per il modulo, invece. Sai che fra -2 e 0, $|t|=-t $, mentre nel primo quadrante $|t|=t $ ...
"frunz15":
PS: ho una domanda per Obidream e Zero87: la formula \( int f'(x)*[f(x)]^\alphadx=[f(x)]^(\alpha+1)/(\alpha+1) \) con \( \alpha!=-1 \)
si può applicare solo per esponenti RAZIONALI o esponenti REALI? Perchè Zero87 scrive gli integrali nella forma \( f'(x) f^(m/n) (x) \)).... vale solo per (m/n)?
Grazie ancora a tutti..!
Vale per tutti gli $\alpha in RR$ eccetto $-1$
"JPG":
È precisamente per il modulo, invece. Sai che fra -2 e 0, $|t|=-t $, mentre nel primo quadrante $|t|=t $ ...
Ok, ma cosa succede se invece la funzione integranda non ha niente a che fare con il modulo? Ad esempio se fosse:
\(\int_{-3}^{2} e^x dx\) che ovviamente vede come funzione integrata \(\ e^x + c\)
( funzione nè pari, ne dispari, in un intervallo non simmetrico)
Sarebbe giusto fare \(\int_{-3}^{+2} e^x dx\) = \(\ e^2 - e^-3 \), oppure occorre "spezzare" l'integrale?
\(\int_{-3}^{+2} e^x dx\) = \(\int_{-3}^{0} e^x dx + \int_{0}^{+2} e^x dx\) con cambio di segno (?!)
Sono un po' confuso....
Nel nostro caso, prima, abbiamo "scisso" l'integrale solamente per liberarci di quel fastidiosissimo modulo sapendo che se t assume solo valori positivi possiamo scrivere $|t|=t$, e viceversa per $t<0$ abbiamo $|t|=-t$
Non penso tu abbia bisogno di "spezzare" alcunché altrimenti, anche perché come ben vedi tu stesso, sviluppando $ int_(-3)^(2) e^x dx $ il segno di $x$ cambia da solo. Se tu avessi $ int_(-3)^(2) e^|x| dx $ sarebbe diverso.
Non penso tu abbia bisogno di "spezzare" alcunché altrimenti, anche perché come ben vedi tu stesso, sviluppando $ int_(-3)^(2) e^x dx $ il segno di $x$ cambia da solo. Se tu avessi $ int_(-3)^(2) e^|x| dx $ sarebbe diverso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo