Integrale con l'esponenziale

[lepre561]

$\int((2*3^x)+(3*2^x))/6^x dx$
avevo pensato di dividere la frazione

$2int(1/2)^x+ 3int(1/3)^x$

ma evidentemente c'è qualcosa di sbagliato dato che continuando non mi viene il risultato

[Zero87]

Bene, da qui in poi in realtà per gli esponenziali generici ci sono formule "dirette" che non ricorderò mai, quindi in genere trasformo in $e$. Per esempio
$2 \int (1/2)^x dx = 2 \int e^(log(1/2)^x) = 2 \int e^(x log(1/2))dx$
poi ricordo che con $k$ costante, l'integrale di $e^(kx)$ è $1/k e^(kx) + c$ con e finisco la questione.

[lepre561]

mi dispiace andarti contro ma del nmero di nepero nel risultato non c'è traccia

[Zero87]

"lepre561":mi dispiace andarti contro ma del nmero di nepero nel risultato non c'è traccia

Se viene un risultato con $e^(xlog(1/2))$ ricordo che per sostituzione inversa si riottiene $2^x$...
Come ho detto c'è una formula "diretta" per gli integrali di esponenziali qualsiasi, ma non ricordandomela faccio un giro più lungo ma dovrei arrivare lo stesso al risultato. Per esempio

"Zero87":$ [...] = 2 \int e^(x log(1/2))dx $

$= 2 \cdot 1/(log(1/2)) \cdot e^(xlog(2)) +c = 2\cdot 2^x/(log(1/2)) + c = -2 \cdot 2^x/(log(2)) + c= - \frac{2^(x+1)}{log(2)} + c$
se non ho sbagliato qualche calcolo; per l'altro il ragionamento è analogo.

[lepre561]

come mai cambia la base del logaritmo?

[Obidream]

Lo ha già spiegato Zero, siccome non ricorda la formuletta ha riscritto l'integrale in base e perché è più facile da ricordare.
Quella generica è: $int a^x dx = a^x/log(a)+c$ dove $log$ è il logaritmo naturale.

[Zero87]

Semplicemente $(1/2)^x = e^(ln(1/2)^x) = e^(x ln(2))$ cosa che ti ho visto fare anche nei limiti.
C'è una formuletta apposita che (ricordo) alla fine si ricava da questo cambio di base.

Per il resto io sono anzianotto didatticamente parlando e sono cresciuto scrivendo $log(x)$ come il logaritmo in base $e$ (negli anni 2000 andava di moda così ) mentre in molti scrivono $ln(x)$, magari è questo che ti dà confusione. In questo post ho scritto $ln(x)$ come logaritmo naturale.

EDIT: saluto @Obidream che ha postato mentre scrivevo.