Integrale
Come posso risolvere questo integrale ?
[tex]\int \sqrt{6x-8-x^2} dx[/tex]
Non mi viene in mente alcuna nostituzione
[/tex]
[tex]\int \sqrt{6x-8-x^2} dx[/tex]
Non mi viene in mente alcuna nostituzione
[/tex]
Risposte
Per questo tipo di integrali ci sono delle sostituzioni ad hoc:
http://www.dmmm.uniroma1.it/~dario.salvitti/stdinfo/AEROSPAZIALE%282009-10%29%20-%20Analisi%20Matematica%20I/Complementi%20ed%20esercizi/AM1-Integrazione3.pdf
http://www.dmmm.uniroma1.it/~dario.salvitti/stdinfo/AEROSPAZIALE%282009-10%29%20-%20Analisi%20Matematica%20I/Complementi%20ed%20esercizi/AM1-Integrazione3.pdf
[tex]\sqrt{-(x-4)(x-2)} = |x-4|\sqrt{\frac{2-x}{x-4}}[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{2-x}{x-4}} = t \longrightarrow x=\frac{2+4t^2}{t^2+1} \longrightarrow dx= \frac{4t}{(1+t^2)^2} dt[/tex]
[tex]|\frac{2+4t^2}{t^2+1} -4| \cdot t \cdot (\frac{4t}{(1+t^2)^2}) dt[/tex]
[tex]\displaystyle \int |\frac{-2}{t^2+1} | \cdot (\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}) dt[/tex]
Qui mi blocco
PS dispensa molto utile, dove posso trovarne delle altre ?
[tex]\sqrt{\frac{2-x}{x-4}} = t \longrightarrow x=\frac{2+4t^2}{t^2+1} \longrightarrow dx= \frac{4t}{(1+t^2)^2} dt[/tex]
[tex]|\frac{2+4t^2}{t^2+1} -4| \cdot t \cdot (\frac{4t}{(1+t^2)^2}) dt[/tex]
[tex]\displaystyle \int |\frac{-2}{t^2+1} | \cdot (\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}) dt[/tex]
Qui mi blocco
PS dispensa molto utile, dove posso trovarne delle altre ?
Non controllo i calcoli. Lo scopo era comunque di razionalizzare l'integranda con una sostituzione e ci sei riuscito/a.
Può esserti utile ricordare che l'integrale $int 1/(x^2 + 1)^n dx$ si computa per parti.
Può esserti utile ricordare che l'integrale $int 1/(x^2 + 1)^n dx$ si computa per parti.
l'ho diviso così [tex]\displaystyle -2 \int t \cdot \frac{-4t}{(1+t^2)^3} dt[/tex]
Dove [tex]t = f_{(x)}[/tex] e [tex]\frac{-4t}{(1+t^2)^3} = g'_{(x)}[/tex] e [tex]g'_{(x)}[/tex] è la derivata di [tex]\frac{1}{(1+t^2)^2}[/tex]
il primo integrale porta a
[tex]\displaystyle -2 \int t \cdot \frac{-4t}{(1+t^2)^3} dt \longrightarrow -2\Biggl( \frac{t}{(1+t^2)^2} - \int \frac{1}{(1+t^2)^2 }dt \Biggl)[/tex]
ora devo risolvere
[tex]\displaystyle \int 1 \cdot \frac{1}{(1+t^2)^2} dt[/tex]
Dove 1 è [tex]g'_{(x)}[/tex] e l'altro [tex]f_{(x)}[/tex]
[tex]\displaystyle \int 1 \cdot \frac{1}{(1+t^2)^2} dt \longrightarrow \frac{t}{(1+t^2)^2} - \int \frac{-4t^2}{(1+t^2)^2}[/tex]
Sostituendo nel primo ho
[tex]\displaystyle -2 \int t \cdot \frac{-4t}{(1+t^2)^3} dt \longrightarrow -2\Biggl(\frac{t}{(1+t^2)^2} - \Biggl(\frac{t}{(1+t^2)^2} - \int \frac{-4t^2}{(1+t^2)^3} dt \biggl)\biggl)[/tex]
Ma si vede subito che qualcosa non quadra dov'è l'errore ?
Dove [tex]t = f_{(x)}[/tex] e [tex]\frac{-4t}{(1+t^2)^3} = g'_{(x)}[/tex] e [tex]g'_{(x)}[/tex] è la derivata di [tex]\frac{1}{(1+t^2)^2}[/tex]
il primo integrale porta a
[tex]\displaystyle -2 \int t \cdot \frac{-4t}{(1+t^2)^3} dt \longrightarrow -2\Biggl( \frac{t}{(1+t^2)^2} - \int \frac{1}{(1+t^2)^2 }dt \Biggl)[/tex]
ora devo risolvere
[tex]\displaystyle \int 1 \cdot \frac{1}{(1+t^2)^2} dt[/tex]
Dove 1 è [tex]g'_{(x)}[/tex] e l'altro [tex]f_{(x)}[/tex]
[tex]\displaystyle \int 1 \cdot \frac{1}{(1+t^2)^2} dt \longrightarrow \frac{t}{(1+t^2)^2} - \int \frac{-4t^2}{(1+t^2)^2}[/tex]
Sostituendo nel primo ho
[tex]\displaystyle -2 \int t \cdot \frac{-4t}{(1+t^2)^3} dt \longrightarrow -2\Biggl(\frac{t}{(1+t^2)^2} - \Biggl(\frac{t}{(1+t^2)^2} - \int \frac{-4t^2}{(1+t^2)^3} dt \biggl)\biggl)[/tex]
Ma si vede subito che qualcosa non quadra
dov'è l'errore ?
è molto più facile se lo scrivi come $1-(x-3)^2$..... cosa succede se poni x-3=t?
Esce questo:
[tex]\displaystyle \int \sqrt{1-t^2} dt[/tex]
Poi credo che vada risolto ponendo [tex]t= \sin x[/tex] o [tex]t= \cos x[/tex]
Ma a questo punto credo farei prima a mettere [tex]x-3= \sin t[/tex]
Ci proverò, grazie. Ma voglio capire dov'è che ho sbagliato nel procedimento precedente, magari mi sarà utile quando non potrò fare questa sostituzione..
[tex]\displaystyle \int \sqrt{1-t^2} dt[/tex]
Poi credo che vada risolto ponendo [tex]t= \sin x[/tex] o [tex]t= \cos x[/tex]
Ma a questo punto credo farei prima a mettere [tex]x-3= \sin t[/tex]
Ci proverò, grazie. Ma voglio capire dov'è che ho sbagliato nel procedimento precedente, magari mi sarà utile quando non potrò fare questa sostituzione..
c'è una formula apposta per risolvere in un solo passaggio questo tipo di integrale in un solo passaggio ossia $1/2 a^2 arcsenx/a+1/2 x(√ a^2-x^2)$
Esce
[tex]\displaystyle 1/2 (\arcsin x + x \sqrt {1+x^2})[/tex]
Ma non capisco perchè non si trova anche con la sostituzione per parti..
[tex]\displaystyle 1/2 (\arcsin x + x \sqrt {1+x^2})[/tex]
Ma non capisco perchè non si trova anche con la sostituzione per parti..
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