Integrale
Stavo svolgendo questo problema di fisica: trovare il campo elettrico generato da un disco di densità di carica [tex]\sigma[/tex] in un punto P che si trova ad altezza z dal centro del disco.
Svolgendo un po' di calcoli sono arrivato a:
[tex]\displaystyle{\int_0^R \frac{rz\sigma dr}{2 \epsilon_0(r^2+z^2)^{3/2}}}[/tex]
Sono arrivato davanti alla scarpata. Solitamente in fisica ho sempre trovato integrali del tipo: [tex]\displaystyle{\int (x^2+x+3)dx}[/tex]
e adesso che faccio?
Grazie in anticipo per gli aiuti.
Svolgendo un po' di calcoli sono arrivato a:
[tex]\displaystyle{\int_0^R \frac{rz\sigma dr}{2 \epsilon_0(r^2+z^2)^{3/2}}}[/tex]
Sono arrivato davanti alla scarpata. Solitamente in fisica ho sempre trovato integrali del tipo: [tex]\displaystyle{\int (x^2+x+3)dx}[/tex]
e adesso che faccio?
Grazie in anticipo per gli aiuti.
Risposte
Fallo per sostituzione ponendo $r^2+z^2=t$
Girando sul web ho trovato questo per il metodo della sostituzione.
1) Decidi quale funzione considerare come t
2) Poni la funzione uguale a t
3) Fai il differenziale a destra ed a sinistra dell'uguale
4) Ricava dx
5) Sostituisci nell'integrale di partenza alla funzione il valore t ed a dx il valore ricavato
6) Controlla che spariscano tutti i termini con la x (se non spariscono torna all'inizio e considera se possibile un'altra funzione; se non puoi considerare un'altra funzione passa a provare l'integrazione per parti)
7) Calcola l'integrale con la t
8) Sostituisci nel risultato a t la funzione iniziale
Partiamo: [tex]x=r[/tex]
1-2) [tex]t=x^2+z^2[/tex]
3)[tex]dt=2xdx[/tex]
4)[tex]dx=dt/2x[/tex]
5-6)[tex]\displaystyle{k \int_0^R \frac{dt}{2t^{\frac{3}{2}}}}[/tex]
7-8) [tex]\displaystyle{k \int_0^R \frac{dt}{2t^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{4z}-\frac{1}{4\sqrt{R^2+z^2}}}[/tex]
Il risultato non esce per via del termine 1/4, K è la roba che resta costante.
Dove ho sbagliato?
grazie in anticipo.
1) Decidi quale funzione considerare come t
2) Poni la funzione uguale a t
3) Fai il differenziale a destra ed a sinistra dell'uguale
4) Ricava dx
5) Sostituisci nell'integrale di partenza alla funzione il valore t ed a dx il valore ricavato
6) Controlla che spariscano tutti i termini con la x (se non spariscono torna all'inizio e considera se possibile un'altra funzione; se non puoi considerare un'altra funzione passa a provare l'integrazione per parti)
7) Calcola l'integrale con la t
8) Sostituisci nel risultato a t la funzione iniziale
Partiamo: [tex]x=r[/tex]
1-2) [tex]t=x^2+z^2[/tex]
3)[tex]dt=2xdx[/tex]
4)[tex]dx=dt/2x[/tex]
5-6)[tex]\displaystyle{k \int_0^R \frac{dt}{2t^{\frac{3}{2}}}}[/tex]
7-8) [tex]\displaystyle{k \int_0^R \frac{dt}{2t^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{4z}-\frac{1}{4\sqrt{R^2+z^2}}}[/tex]
Il risultato non esce per via del termine 1/4, K è la roba che resta costante.
Dove ho sbagliato?
grazie in anticipo.
Se gli estremi per x sono 0 e R, per t saranno $0+z^2$ e $R^2+z^2$, non solo nel finale, ma anche in tutto l'esercizio in cui hai sostituto.
Infatti $1/4$ non c'è:
$int 1/2*t^(-3/2) dt=1/2* t^(-3/2+1)/(-3/2+1)+c=1/2* t^(-1/2)/(-1/2)+c=1/2* t^(-1/2)*(-2)+c=-1/sqrtt$
Infatti $1/4$ non c'è:
$int 1/2*t^(-3/2) dt=1/2* t^(-3/2+1)/(-3/2+1)+c=1/2* t^(-1/2)/(-1/2)+c=1/2* t^(-1/2)*(-2)+c=-1/sqrtt$
Grazie mille, @melia. Ho imparato cosa significa integrare per sostituzione e col tuo aiuto ho trovato anche l'erroraccio di algebra (al denominatore avevo scritto -2 e non -1/2). Saluti e buone vacanze.
Prego, buone vacanze anche a te.
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