Integrale (65634)

[brothh]

ciao mi aiutate perfavore a risolvere l'integrale:

[math]\int\frac{1}{1+sin(2x)}dx
[/math]

grazie

[BIT5]

Ricordando che

[math] \int \frac{1}{1+ \sin x} \ dx = \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} [/math]

Posso risolvere per sostituzione.

Posto

[math] t=2x[/math]

avro'

[math] x= \frac{t}{2} \to dx=\frac12 dt [/math]

L'integrale sara'

[math] \int \frac{1}{1+ \sin t} \frac12dt = \frac12 \frac{2 \sin \frac{2x}{2}}{\cos \frac{2x}{2} + \sin \frac{2x}{2}} = \frac12 \frac{2 \sin x}{\cos x + \sin x} [/math]

Semplifichi 1/2 con il 2 e hai l'integrale

[ciampax]

Ma spiegargli perché l'integrale viene quello? Usa direttamente la sostituzione seguente

[math]\sin(2x)=\frac{2t}{1+t^2},\qquad t=\tan x[/math]

cosicché

[math]dx=\frac{dt}{1+t^2}[/math]

e l'integrale diventa

[math]\int\frac{1}{(1+t)^2}\ dt=-\frac{1}{1+t}+c=-\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}+c[/math]