Integrale

[HowardRoark]

Devo calcolare $\int dx(2)/(sqrt(x)(1+sqrt(x)) $ usando la regola $\int dx (f'(x))/f(x) = ln|f(x)|+c$. A parte il fatto che non capirò mai esercizi del genere (si tratta sempre di trovare uno 'stratagemma' algebrico per riuscire a calcolare l'integrale), potreste aiutarmi a capire come calcolarlo?

[ot]Quello che ho scritto tra parentesi non era un semplice sfogo, ma proprio una perplessità: a cosa serve questa tipologia di esercizi? Si potrebbero svolgere anche senza sapere cosa sia un integrale ed applicare meccanicamente le formule e un po' di algebra. Ne ho risolti parecchi solo perché ho fatto un po' di pratica, ma non per questo sento di aver capito meglio gli integrali.
Potrei capire se ce ne fossero pochi, ma il mio libro delle superiori è pieno di esercizi simili.[/ot]

[@melia]

Appunto. Per riuscire a farli bisogna avere un po' di pratica, risolvendone molti.

$ \int (2)/(sqrt(x)(1+sqrt(x))) dx $
Puoi osservare che la derivata di $1+sqrt(x)$ è $1/(2sqrt(x))$, quindi

$ \int (2/((sqrt(x)(1+sqrt(x))) ))dx =4 \int 1/(2sqrt(x)(1+sqrt(x)) )dx= 4 \int 1/((1+sqrt(x))) d(1+sqrt(x))=4 ln(1+sqrt(x))+c$

[HowardRoark]

Ho capito come calcolare l'integrale, però non mi è chiaro questo tuo passaggio:

"@melia":

$4 \int 1/(2sqrt(x)(1+sqrt(x)) )dx= 4 \int 1/((1+sqrt(x))) d(1+sqrt(x))$

Perché al posto della $x$ in $dx$ scrivi $d(1+sqrt(x))$? Io, più banalmente, ho scritto $4 \int 1/(2sqrt(x)(1+sqrt(x)) ) dx = 4 \int 1/(2sqrt(x))/(1+sqrt(x) ) dx = …$

[@melia]

Ho solo messo in evidenza il concetto di differenziale:
$f'(x) dx=df(x)$

[@melia]

Ho solo messo in evidenza il concetto di differenziale:
$f'(x) dx=df(x)$

In genere chiamo questo tipo di integrali: Integrali a sostituzione immediata, ovvero individuo una funzione e la sua derivata, allora nell'integrale
$ \int (2)/(sqrt(x)(1+sqrt(x))) dx $
Individuo la funzione da sostituire $1+sqrt(x)=t$, e il suo differenziale $1/(2sqrt(x)) dx=dt$ e poi sostituisco
$ int (4)/(2sqrt(x)(1+sqrt(x))) dx =int (4)/((1+sqrt(x))) (1/(2sqrt(x)) dx) =4\int 1/t dt $