Integrale

[Luca114]

Ho un problema con un integrale, che comunque alla fine ho risolto (ci sono diversi modi):

$int ln^2(1+x) dx =int1*ln^2(1+x)dx=xln^2(1+x)-2intx*ln(1+x)*1/(1+x)dx$

Concentriamoci su

$intx*ln(1+x)*1/(1+x)dx$. Ho posto $ln(1+x)=t$ e ho risolto.

Nella verifica, però, ho risolto direttamente l'integrale $int ln^2(1+x) dx$ con la sostituzione $1+x=t$, e il risultato viene lo stesso e con molti meno passaggi. Mi è stato però detto che il procedimento è sbagliato. Perché ?

[anto_zoolander]

puoi far vedere il procedimento?

PS: con sostituzione o meno si può risolvere in due mosse allo stesso modo

$intln^2(x+1)dx=int(x+1)^0ln^2(x+1)dx$

$(x+1)ln^2(x+1)-2int(x+1)ln(x+1)/(x+1)dx$

$(x+1)ln^2(x+1)-2intln(x+1)dx$

$(x+1)ln^2(x+1)-2(x+1)ln(x+1)-2(x+1)+c$

$(x+1)[ln^2(x+1)-2ln(x+1)-2]+c$

forse l'errore è considerato proprio nell'effettuare questo passaggio

$int1dx=intx^0dx=int(x+1)^0dx$

personalmente non ci vedo alcun errore alla fine $x+c_1$ e $(x+1)+c_2$ differiscono per una costante cosa che negli integrali è abbastanza normale.

A tuo favore posso dire che Wolfram usa la sostituzione che utilizzi tu.

[donald_zeka]

Mi sembra un cambio di variabile inutile...alla fine trasformi una variabile lineare $1+x$ in un'altra variabile lineare $t$...l'integrale resta praticamente lo stesso...