Integrale

[Luca114]

Salve, è possibile risolvere questo integrale in modo immediato?

$int(sqrt(3x)+(log3x)/(3x))dx=sqrt3 int (sqrtx)dx+int((log3x)/(3x))dx$

Il secondo integrale non è così immediato, pensavo alla derivata di una funzione composta, ma non trovo nessuna primitiva..

[Shocker1]

Moltiplica e dividi per $3$, poi applica la sostituzione $t = log(3x)$.

[donald_zeka]

Ricorda che $intf(x)/(f'(x))dx=1/2f^2(x)+c$

[andar9896]

In realtà la formula sarebbe $int f'(x) * f(x) = 1/2 f^2(x) + c$ ... ma comunque, se non vuoi usare formule, puoi ragionare così:
$int 1/3 (log(3x)/x)dx= int 1/3 log(3x)d(log(3x))= log^2(3x)/6+c$

ovvero una specie di sostituzione

[donald_zeka]

Si è vero, il fatto che la derivata di $lnx$ sia $1/x$ mi ha fatto confondere sbagliando la formula, pardon.

[Luca114]

Grazie,
approfitto per chiedere un'altra cosa veloce: come si calcola la derivata di $log^2x$? Io ho pensato: lo vedo come un prodotto $logx*logx$ e applico la formula del prodotto $2/x*loge*logx$ ma credo che non sia giusto, ho letto che bisogna utilizzare la formula della derivata composta, anche se non riesco a vedere la funzione dentro la funzione (non si tratta di $logx^2$...)

[mazzarri1]

Banalmente sarebbe

$2 logx 1/x$

Questo se il logaritmo è come immagino in base e

Non è altro che la derivata di $f(x)^2$ cioe $2f(x)f'(x)$

[donald_zeka]

$(df(x)^(alpha))/(dx)=alphaf(x)^(alpha-1)f'(x)$