Integrale
Salute a voi...
Avrei un dubbio sul risultato di un integrale indefinito:
$ int 1/(4x^2+4x+1) dx$ dato che al numeratore non vi è la derivata del denominatore, e non è possibile ricondurla con passaggi matematici alla forma $ int (f'(x))/f(x) dx= ln|f(x)|+c $ , calcolo il $Delta$
$Delta = 0$
$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$
Quindi posso riscrivere $ int 1/(4x^2+4x+1) dx= int 1/((2x+1)^2)dx$
Pongo $(2x+1)^2=y$ $=>$ $int y^-2 dy= (y^(-2+1))/(-2+1)+c=y^-1/-1$ $= -1/y+c = -1/(2x+1)+c$
Il libro invece arrivato a non fa sostituzioni ma scrive:
$int 1/((2x+1)^2)dx= 1/2*int 2(2x+1)^-2dx=-1/2(2x+1)+c$ Moltiplica e divide per 2 per ricondurre a $f'(x)$
il mio procedimento con la y è allora sbagliato?
Avrei un dubbio sul risultato di un integrale indefinito:
$ int 1/(4x^2+4x+1) dx$ dato che al numeratore non vi è la derivata del denominatore, e non è possibile ricondurla con passaggi matematici alla forma $ int (f'(x))/f(x) dx= ln|f(x)|+c $ , calcolo il $Delta$
$Delta = 0$
$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$
Quindi posso riscrivere $ int 1/(4x^2+4x+1) dx= int 1/((2x+1)^2)dx$
Pongo $(2x+1)^2=y$ $=>$ $int y^-2 dy= (y^(-2+1))/(-2+1)+c=y^-1/-1$ $= -1/y+c = -1/(2x+1)+c$
Il libro invece arrivato a
non fa sostituzioni ma scrive:$int 1/((2x+1)^2)dx= 1/2*int 2(2x+1)^-2dx=-1/2(2x+1)+c$ Moltiplica e divide per 2 per ricondurre a $f'(x)$
il mio procedimento con la y è allora sbagliato?
Risposte
"xSilver":
il mio procedimento con la y è allora sbagliato?
Non è sbagliato, diciamo che "non è corretto" che, se ci pensi, è una cosa diversa: ma basta pochissimo per correggerlo.
Se poni $2x+1=y$, hai ovviamente $x= y/2-1/2$ da cui $dx= 1/2 dy$ e ottieni
$\int 1/2 y^(-2)dy$.
Per il resto quando hai una potenza di una funzione lineare (cioè di primo grado) basta giostrarsi con le costanti per avere $f'$ ed utilizzare la formula adatta: diciamo che è il metodo "standard" in questi casi.
Ecco l'errore... io ho sostituito allegramente $dy$ a $dx$ 
Grazie!!
Grazie!!
Ragazzi avrei un dubbio con un altro integrale
$int 1/(x^2+3)$ data la formula $int (f'(x))/(f(x)^2+a^2)= 1/a*arctg(f(x)/a)$
$int 1/(x^2+3) = 1/sqrt3*arctg(x/sqrt3)$
è esatto??
$int 1/(x^2+3)$ data la formula $int (f'(x))/(f(x)^2+a^2)= 1/a*arctg(f(x)/a)$
$int 1/(x^2+3) = 1/sqrt3*arctg(x/sqrt3)$
è esatto??
Manca solo il $+c$
Ti ringrazio gentilissima!!
Buongiorno...
Stamattina ero
e questo ora come lo risolvo??
$int sen^2x+7 dx$
Per prima cosa separo i 2 termini:
$int 7 dx + int sen^2x dx$
$int 7 dx = 7x +c$
$int sen^2x dx $ provo a risolverlo per parti $[int f'(x)*g(x) dx= f(x)*g(x) - int f(x)* g'(x) dx]$
$int sen^2x dx = int senxsenx dx $
$ int senxsenx dx = -cosxsenx - int -cosxcosx dx = -senxcosx + int cosxcosx dx $
a questo punto risolvo $int cosxcosx dx$ sempre per parti
$int cosxcosx dx= senxcosx- int senx*(-senx) dx = senxcosx + int senxsenx$
quindi:
$int senxsenx dx = -senxcos +senxcosx + int senxsenx dx$
ma che c'ho risolto?? trovo $int senxsenx dx = int senxsenx dx$
Dato che per parti non va risolta (oppure ho sbagliato qualcosa) come dovrei procedere??
Stamattina ero
e questo ora come lo risolvo??$int sen^2x+7 dx$
Per prima cosa separo i 2 termini:
$int 7 dx + int sen^2x dx$
$int 7 dx = 7x +c$
$int sen^2x dx $ provo a risolverlo per parti $[int f'(x)*g(x) dx= f(x)*g(x) - int f(x)* g'(x) dx]$
$int sen^2x dx = int senxsenx dx $
$ int senxsenx dx = -cosxsenx - int -cosxcosx dx = -senxcosx + int cosxcosx dx $
a questo punto risolvo $int cosxcosx dx$ sempre per parti
$int cosxcosx dx= senxcosx- int senx*(-senx) dx = senxcosx + int senxsenx$
quindi:
$int senxsenx dx = -senxcos +senxcosx + int senxsenx dx$
ma che c'ho risolto?? trovo $int senxsenx dx = int senxsenx dx$
Dato che per parti non va risolta (oppure ho sbagliato qualcosa) come dovrei procedere??
Viene per parti, ma con un piccolo trucco
$int sin^2x dx = -cosxsinx - int -cosxcosx dx $
ma $cos^2x=1-sin^2x$ quindi
$int sin^2x dx = -sinxcosx + int (1-sin^2x) dx = -sinxcosx +x- int sin^2x dx $
e adesso il trucco, prendo il primo e l'ultimo termine dell'uguaglianza
$int sin^2x dx = -sinxcosx +x- int sin^2x dx $ porto a primo membro entrambi gli integrali e ottengo
$2int sin^2x dx = -sinxcosx +x+c$, devo aggiungere la costante a secondo membro perché non ci sono più integrali, e infine divido per 2 tutto tranne la costante, che essendo arbitraria non ne ha bisogno
$int sin^2x dx = -1/2sinxcosx +1/2x+c$
$int sin^2x dx = -cosxsinx - int -cosxcosx dx $
ma $cos^2x=1-sin^2x$ quindi
$int sin^2x dx = -sinxcosx + int (1-sin^2x) dx = -sinxcosx +x- int sin^2x dx $
e adesso il trucco, prendo il primo e l'ultimo termine dell'uguaglianza
$int sin^2x dx = -sinxcosx +x- int sin^2x dx $ porto a primo membro entrambi gli integrali e ottengo
$2int sin^2x dx = -sinxcosx +x+c$, devo aggiungere la costante a secondo membro perché non ci sono più integrali, e infine divido per 2 tutto tranne la costante, che essendo arbitraria non ne ha bisogno
$int sin^2x dx = -1/2sinxcosx +1/2x+c$
Ecco lì... dovevo scrivere diversamente il $cos^2$ ....
Ti ringrazio e se non ti sono di troppo disturbo... il ragionamento è uguale per $int cos^2 dx$ giusto??
Ti ringrazio e se non ti sono di troppo disturbo... il ragionamento è uguale per $int cos^2 dx$ giusto??
Sì, ma puoi sfruttare tutto quello che sai, quindi, siccome $cos^2 x=1-sin^2 x$ allora
$int cos^2 x dx= int (1-sin^2 x) dx = x- int sin^2 x dx$ e poi usi l'ntegrale appena calcolato
$int cos^2 x dx= int (1-sin^2 x) dx = x- int sin^2 x dx$ e poi usi l'ntegrale appena calcolato
Ok... ti ringranzio!!! ^ ^
Bonjour à tout le monde
devo risolvere codesto integrale, ma il mio risultato non è uguale a quello del libro... cosa ho sbagliato??
$int_-1^0 (1+x)/(3-2x-x^2) dx$
Vedo che il numeratore è quasi la derivata del denominatore... moltiplico e divido perciò per -2
$-1/2 int_-1^0 (-2-2x)/(3-2x-x^2) dx = [-1/2 log (x^2-2x+3)]_-1^0$
$[-1/2 log (x^2-2x+3)]_-1^0 = -1/2 log(3) - (-1/2 log(6)) = -log(sqrt 3) + log(sqrt 6) = log [(sqrt 6)/(sqrt 3)]$ che poi sarebbe $log [((sqrt 2)* (sqrt 3))/(sqrt 3)] = log sqrt( 2)$ (questo passaggio è esatto oppure ho scritto una boiata???)
Il risultato del libro è $ log [(sqrt 4)/(sqrt 3)]$
devo risolvere codesto integrale, ma il mio risultato non è uguale a quello del libro... cosa ho sbagliato??
$int_-1^0 (1+x)/(3-2x-x^2) dx$
Vedo che il numeratore è quasi la derivata del denominatore... moltiplico e divido perciò per -2
$-1/2 int_-1^0 (-2-2x)/(3-2x-x^2) dx = [-1/2 log (x^2-2x+3)]_-1^0$
$[-1/2 log (x^2-2x+3)]_-1^0 = -1/2 log(3) - (-1/2 log(6)) = -log(sqrt 3) + log(sqrt 6) = log [(sqrt 6)/(sqrt 3)]$ che poi sarebbe $log [((sqrt 2)* (sqrt 3))/(sqrt 3)] = log sqrt( 2)$ (questo passaggio è esatto oppure ho scritto una boiata???)
Il risultato del libro è $ log [(sqrt 4)/(sqrt 3)]$
Il passaggio è corretto credo.
L'errore è che $x^2$ ha segno negativo e tu la metti con segno positivo nella primitiva.
L'errore è che $x^2$ ha segno negativo e tu la metti con segno positivo nella primitiva.
L'esercizio mi è riuscito!! Ti ringrazio!!
Adesso invece sto uscendo pazzo con questo
$int_4^9 (sqrt(x))/(1-x) dx$
Il numeratore non è la derivata del denominatore, ho inoltre provato per parti e con sostituzione... Non sono però arrivato ad alcuna conclusione.
Cos'è che non riesco a "vedere"!!
$int_4^9 (sqrt(x))/(1-x) dx$
Il numeratore non è la derivata del denominatore, ho inoltre provato per parti e con sostituzione... Non sono però arrivato ad alcuna conclusione.
Cos'è che non riesco a "vedere"!!
Poni $sqrt x = t$ e dopo la sostituzione, mi raccomando il $dx$, usi il metodo dei fratti semplici.
Sempre gentilissima...
Se non ti sono di troppo disturbo potresti spiegarmi la regola dei fratti semplici??
Il mio prof non l'ha spiegata tanto bene, e sul libro non è che ci abbia capito molto...
Non so quando mettere al numeratore $A$ e $B$ oppure $A$ e $Bx+C$ ecc...
Se non ti sono di troppo disturbo potresti spiegarmi la regola dei fratti semplici??
Il mio prof non l'ha spiegata tanto bene, e sul libro non è che ci abbia capito molto...
Non so quando mettere al numeratore $A$ e $B$ oppure $A$ e $Bx+C$ ecc...
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