$inte^(-x^2)dx$.. (con le serie)
come già detto dal titolo, ho problemi a calcolare l'integrale indefinito $inte^(-x^2)dx$
ho proceduto cosi:
Ho espanso in serie di taylor la serie $e^(-x^2)$ e viene $sum_(n=0)^oo (-1)^n (x^(2n))/(n!)$
poi ho calcolato l'integrale in x ai 2 membri e viene
$int e^(-x^2)dx = sum_(n=0)^oo (-1)^n (x^(2n+1)-1)/((2n+1)*n!)$
arrivato a questo punto non riesco a calcolarmi la serie per trovare l'integrale indefinito!
Help.. 
Mega-X
EDIT: Avevo confuso l'integrale con la derivata.. mah..
ho proceduto cosi:
Ho espanso in serie di taylor la serie $e^(-x^2)$ e viene $sum_(n=0)^oo (-1)^n (x^(2n))/(n!)$
poi ho calcolato l'integrale in x ai 2 membri e viene
$int e^(-x^2)dx = sum_(n=0)^oo (-1)^n (x^(2n+1)-1)/((2n+1)*n!)$
arrivato a questo punto non riesco a calcolarmi la serie per trovare l'integrale indefinito!
Help.. Mega-X
EDIT: Avevo confuso l'integrale con la derivata.. mah..
Risposte
nessuno risponde?
Di quella funzione non si conosce primitiva esatta. Si fa ricorso ad una funzione tabulata nota come "Error function" ($erf(x)$).
PS: nel tuo caso l'integrale vale $sqrtpi/2 erf(x)$.
PS: nel tuo caso l'integrale vale $sqrtpi/2 erf(x)$.
cioè non si può neanche calcolare la somma della serie?
L'integrale esteso a tutto $\mathbb{R}$ di $e^{-x^2}$ fa $\sqrt{\pi}$, e per dimostrarlo prima si dimostra che tale integrale converge, poi si calcola il quadrato dell'integrale, passando in coordinate polari, dopo si estrae la radice quadrata.
Penso di no, anche perchè altrimenti si conoscerebbe la primitiva di $e^(-x^2)$.
"Tipper":
L'integrale esteso a tutto $\mathbb{R}$ di $e^{-x^2}$ fa $\sqrt{\pi}$, e per dimostrarlo prima si dimostra che tale integrale converge, poi si calcola il quadrato dell'integrale, passando in coordinate polari, dopo si estrae la radice quadrata.
Sorry, avevo capito un'altra cosa...
"Tipper":
[quote="Tipper"]L'integrale esteso a tutto $\mathbb{R}$ di $e^{-x^2}$ fa $\sqrt{\pi}$, e per dimostrarlo prima si dimostra che tale integrale converge, poi si calcola il quadrato dell'integrale, passando in coordinate polari, dopo si estrae la radice quadrata.
Sorry, avevo capito un'altra cosa...[/quote]
No vabbè è sempre gradito conoscere nuove cose..
Grazie a tutti per l aiuto..
(non so perché ma firefox non mi vuole far fare l accento.. Mah.. 
)
Le funzioni :
$e^(lambdax^2) ; e^(lambdax)/x ; (lambda ne 0 )$
$sinx/x ; cosx/x ; 1/lnx ; sin(x^2) ; cos(x^2) $
non sono integrabili elementarmente.
Queste funzioni sono dotate di primitive negli intervalli di continuità , ma è stato dimostrato che queste primitive non sono rappresentabili come funzioni elementari.
Tali primitive possono essere rappresentate in altro modo , tra cui la rappresentazione integrale (cioè come funzione integrale) ,e alcune di esse sono talemnte usate che hanno un nome e un simbolo speciale.
Ad esempio è il caso della funzione degli errori(di Gauss ):
$erf(x) = 2/sqrt(pi) int_0^x e^(-t^2)*dt ; x in RR $
che trova largo uso in probabilità e statistica .
Le funzioni integrali non elementari si possono studiare e disegnare come quelle elementari, e tabulare valutando numericamente l'integrale.
N.B. si dicono funzioni elementari quelle funzioni che si ottengono combinando le funzioni fondamentali ( costante,$x, sinx, cos x ,e^x, log x $) con un numero finito di operazioni sia algebriche che di composizione o inversione .
E' chiaro che una funzione elementare può essere anche molto complicata , per cui il concetto di funzione elementare non va confuso con quello intuitivo di " funzione facile " (da studiare , scrivere , disegnare derivare, integrare).
E' anche chiaro che se una funzione elementare è derivabile in un intervallo, la sua derivata è ancora elementare.
Per quanto riguarda le primitive di una funzione elementare f , continua su un dato intervallo , si possono verificare due casi :
1. f ammette primitive elementari o come si dice è integrabile elementarmente .Rientrano in questa categoria le funzioni con integrale immediato , le funzioni razionali, alcuni tipi di "differenziali binomi " e poche altre classi di funzioni , e inoltre tutte quelle funzioni il cui integrale si riconduce ai precedenti con sostituzioni " elementari " .
2. f non ammette primitive elementari , cioè non è integrabile elementarmente : vedi sopra all'inizio.
$e^(lambdax^2) ; e^(lambdax)/x ; (lambda ne 0 )$
$sinx/x ; cosx/x ; 1/lnx ; sin(x^2) ; cos(x^2) $
non sono integrabili elementarmente.
Queste funzioni sono dotate di primitive negli intervalli di continuità , ma è stato dimostrato che queste primitive non sono rappresentabili come funzioni elementari.
Tali primitive possono essere rappresentate in altro modo , tra cui la rappresentazione integrale (cioè come funzione integrale) ,e alcune di esse sono talemnte usate che hanno un nome e un simbolo speciale.
Ad esempio è il caso della funzione degli errori(di Gauss ):
$erf(x) = 2/sqrt(pi) int_0^x e^(-t^2)*dt ; x in RR $
che trova largo uso in probabilità e statistica .
Le funzioni integrali non elementari si possono studiare e disegnare come quelle elementari, e tabulare valutando numericamente l'integrale.
N.B. si dicono funzioni elementari quelle funzioni che si ottengono combinando le funzioni fondamentali ( costante,$x, sinx, cos x ,e^x, log x $) con un numero finito di operazioni sia algebriche che di composizione o inversione .
E' chiaro che una funzione elementare può essere anche molto complicata , per cui il concetto di funzione elementare non va confuso con quello intuitivo di " funzione facile " (da studiare , scrivere , disegnare derivare, integrare).
E' anche chiaro che se una funzione elementare è derivabile in un intervallo, la sua derivata è ancora elementare.
Per quanto riguarda le primitive di una funzione elementare f , continua su un dato intervallo , si possono verificare due casi :
1. f ammette primitive elementari o come si dice è integrabile elementarmente .Rientrano in questa categoria le funzioni con integrale immediato , le funzioni razionali, alcuni tipi di "differenziali binomi " e poche altre classi di funzioni , e inoltre tutte quelle funzioni il cui integrale si riconduce ai precedenti con sostituzioni " elementari " .
2. f non ammette primitive elementari , cioè non è integrabile elementarmente : vedi sopra all'inizio.
Occorre riconoscere che, se è vero che frequenta le scuole superiori, Mega-X dimostra di avere capacità nettamente superiori alla media…. Speriamo di cuore che non si ‘stanchi’ perché sicuramente gli obiettivi più ambiziosi in campo matematico sono alla sua portata…
Lo sviluppo in serie di $f(x)=e^(-x^2)$ da lui fatto è corretto ed infatti è…
$e^(-x^2)=sum_(n=0)^(oo) (-1)^n*x^(2n)/(n!)$ (1)
La procedura seguita per arrivare attraverso lo sviluppo (1) all’integrale della funzione ‘gaussiana’ pecca però un poco di ‘ingenuità’ in quanto occorre passare attraverso il teorema di integrazione per serie e questo si può fare solo per integrali definiti. Applicando il suddetto teorema [le cui ipotesi risultano soddisfatte in questo caso...] si ottiene il seguente sviluppo della funzione ‘integrale di errore’…
$H(x)= 2/sqrt(pi)*int_0^x e^(-t^2)*dt= 2/sqrt(pi)*sum_(n=0)^(oo) (-1)^n*(x^(2n+1))/((2n+1)*n!)$ (2)
Per gli scopi pratici la precisione che si può ottenere calcolando la funzione ‘integrale dell’errore’ con la (2) è abbastanza limitata. Ciò non toglie il fatto che Mega_X abbia ‘intuito’ la strada per arrivarci… very good!!!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Lo sviluppo in serie di $f(x)=e^(-x^2)$ da lui fatto è corretto ed infatti è…
$e^(-x^2)=sum_(n=0)^(oo) (-1)^n*x^(2n)/(n!)$ (1)
La procedura seguita per arrivare attraverso lo sviluppo (1) all’integrale della funzione ‘gaussiana’ pecca però un poco di ‘ingenuità’ in quanto occorre passare attraverso il teorema di integrazione per serie e questo si può fare solo per integrali definiti. Applicando il suddetto teorema [le cui ipotesi risultano soddisfatte in questo caso...] si ottiene il seguente sviluppo della funzione ‘integrale di errore’…
$H(x)= 2/sqrt(pi)*int_0^x e^(-t^2)*dt= 2/sqrt(pi)*sum_(n=0)^(oo) (-1)^n*(x^(2n+1))/((2n+1)*n!)$ (2)
Per gli scopi pratici la precisione che si può ottenere calcolando la funzione ‘integrale dell’errore’ con la (2) è abbastanza limitata. Ciò non toglie il fatto che Mega_X abbia ‘intuito’ la strada per arrivarci… very good!!!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Beh ad essere sincero lupogrigio, lo sviluppo in serie di $e^(-x^2)$ lo ho visto sul libro..
Per dimostrare che $int e^(-x^2) dx = sqrtpi$ si possono usare anche gli integrali doppi.
Ciao
Ciao
"pie24":
Per dimostrare che $int e^(-x^2) dx = sqrtpi$ si possono usare anche gli integrali doppi.
Ciao
E io che ho detto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo