$intcos(logx)$

[ramarro1]

Come diamine si fa questo integrale?!
io ho pensato di sostituire $t=logx$,cioè $x=e^t$,$dx=e^tdt$
cosi si avrebbe
$intcos(t)(e^t)dt$
per parti:$F=cost$-----$F'=-sent$-----$G=e^t$----$G'=e^t$
$e^tsent-inte^tsent(e^t)$
ancora per parti:

$F=e^(2t)$-----$F'=2e^(2t)$----$G=-cos(t)$----$G'=sen(t)$

$e^tsen(t)-(e^t(-cost))-int2e^(2t)(-cost)dt$
niente continuo a girare in tondo...

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un tipico integrale " a giro" che si risolve di norma con due integrazioni per parti.
A) $int cos(logx)dx=x\cdot cos(logx)-int x\cdot -sin(logx) \cdot 1/xdx$
B) $int sin(logx)dx=x\cdot sin(logx)-int x\cdot cos(logx) \cdot 1/xdx$
Sommando (A) e (B), con qualche facile passaggio, si ottiene l'integrale voluto :
$int cos(logx)dx=x/2\cdot(cos(logx)+ sin(logx))+C$

[minomic]

Il girare in tondo effettivamente è corretto: si fa per parti con un trucco finale.
\[
\int{\cos\left(\log x\right)\ dx} = x\cdot\cos\left(\log x\right) + \int{\cancel{x}\sin\left(\log x\right)\cancel{\frac{1}{x}}\ dx}
\] Rifai per parti:
\[
x\cdot\cos\left(\log x\right) + x\cdot \sin\left(\log x\right) -\int{\cancel{x}\cos\left(\log x\right)\cancel{\frac{1}{x}}\ dx}
\] Cosa stiamo quindi dicendo? Che
\[
\int{\cos\left(\log x\right)\ dx} = x\cdot\cos\left(\log x\right) + x\cdot \sin\left(\log x\right) -\int{\cos\left(\log x\right)\ dx}
\] Porti l'integrale a sinistra, dividi per $2$ e hai finito.

[Sk_Anonymous]

La risposta di minomic è praticamente identica alla mia. C'è solo un piccolissimo particolare: la mia risposta è prima di quella di minomic ma non la vedo per niente. Non è che io ci tenga molto ma vorrei dire che un conto è la censura sulle mie risposte ed un altro è il boicottaggio alle mie soluzioni ! Voglio solo sperare che si tratti di una questione di tempistica ma, ad essere sinceri, ci spero poco. E' più probabilòe che si tratti di bavaglio...culturale!

[@melia]

Nessun bavaglio culturale , solo il compito di seconda da preparare, ho finito pochi minuti fa.

[ramarro1]

Non mi viene lo stesso, se vedi come ho fatto sopra, sostituendo la t arrivo a un punto in cui ho un $e^(2t)$ non piu un $e^t$,
poi l'ho rifatto sul foglio senza sostituzione e arrivo a avere dopo 2 integrazioni:
$xcos(logx)+(sen(logx)(1/2x^2)-int1/x(1/2x^2)cos/logx)$
ecco dopo semplifico la $x$ e sotto l'integrale mi resta sempre $xcos(logx)$....quindi bo, dovreei avere solo $cos(logx)$ per usare il metodo che dici...non so dovè lo sbaglio

[ramarro1]

no....adesso ho una x in meno, perdo i pezzi quando scrivo, non riesco
----MODIF>ICO MESSAGGIO-----
no ok, allora arrivo a avere:
$intcos(logx)=(xcos(logx)-xsen(logx))/2$

[minomic]

Veramente ti ho scritto praticamente tutto. Comunque ripartendo da
\[
\int{\cos\left(\log x\right)\ dx} = x\cdot\cos\left(\log x\right) + x\cdot \sin\left(\log x\right) -\int{\cos\left(\log x\right)\ dx}
\] Porti l'integrale a sinistra e hai
\[
2\int{\cos\left(\log x\right)\ dx} = x\cdot\cos\left(\log x\right) + x\cdot \sin\left(\log x\right)
\] Ora dividi per $2$ e ottieni il risultato:
\[
\int{\cos\left(\log x\right)\ dx} = \frac{x\cdot\cos\left(\log x\right) + x\cdot \sin\left(\log x\right)}{2}
\] Fine.