$\int e^cosx\ dx$
Salve a tutti , vorrei chiedervi una mano per calcolare questo integrale indefinito
$\int e^cosx\ dx$
io avevo pensato di tentare una sostituzione
$ e^cosx=t => e^cosx*(-sinx)dx=dt => dx=-\frac dt (tsinx) => dx=- \frac dt (tsqrt(1-ln^2t )) $
di conseguenza ottengo questo integrale :
$ -\int 1/sqrt(1-ln^2t) \dt $
Ma arrivato a questo punto mi blocco..come posso proseguire oppure devo cambiare strada? Grazie in anticipo
$\int e^cosx\ dx$
io avevo pensato di tentare una sostituzione
$ e^cosx=t => e^cosx*(-sinx)dx=dt => dx=-\frac dt (tsinx) => dx=- \frac dt (tsqrt(1-ln^2t )) $
di conseguenza ottengo questo integrale :
$ -\int 1/sqrt(1-ln^2t) \dt $
Ma arrivato a questo punto mi blocco..come posso proseguire oppure devo cambiare strada? Grazie in anticipo
Risposte
Ho provato a farlo per parti, ma poi mi sono scoraggiato quando su wolfram ho letto questo: "no result found in terms of standard mathematical functions" 
già , ci avevo provato anche io 
Nessuno può darmi una mano?
Mi ci sto arrovellando anch'io da un po' (un'oretta?), e sostituzione, integrazione per parti e trucchetti vari arrivano sempre allo stesso punto cieco. Sarà poco ortodosso, ma mi son piuttosto convinto che $e^cosx$ non sia integrabile 
(a meno che il buon vecchio Gauss non ci metta lo zampino 
)
(a meno che il buon vecchio Gauss non ci metta lo zampino )
si ho provato a cercare su internet e l'unica cosa che ho trovato è un professore inglese che rispondeva alla domanda di un suo alunno dicendo che non aveva travato esempi del genere sui libri che aveva consultato e consigliava di ricorrere alle serie !
ho provato a cercare su internet e l'unica cosa che ho trovato è un professore inglese che rispondeva alla domanda di un suo alunno dicendo che non aveva travato esempi del genere sui libri che aveva consultato e consigliava di ricorrere alle serie !
Grazie mille per la risposta molto utile TeM!
Si infatti era proprio quello il problema. Diverso sarebbe stato se la funzione considerata fosse moltiplicata per $ sinx $ :/
Dunque addio integrale indefinito?
Io direi che, dato che $ e^t=1+t+\frac (t^2) (2!)+\frac (t^3) (3!)+... $
allora potrebbe essere un'idea integrare in questo modo:
$ \inte^(cosx)\dx \cong \int(1+cosx+\frac ((cosx)^2) (2!)+\frac ((cosx)^3) (3!)+...)\dx $
O no?
"TeM":
D'altra parte non mi meraviglio più di tanto, in quanto occorre ricordare che in generale si ha \[ \int f'(x)\, e^{f(x)} \, dx = e^{f(x)} + c \] e dato che in questo caso \(f'(x)=-\sin x\) che non possiamo "far comparire" moltiplicando e dividendo per alcuna costante
Si infatti era proprio quello il problema. Diverso sarebbe stato se la funzione considerata fosse moltiplicata per $ sinx $ :/
"TeM":
la primitiva dell'integranda in oggetto non è esprimibile tramite funzioni elementari quali polinomi, esponenziali, logaritmi, esponenziali, funzioni trigonometriche o composizioni di queste
Dunque addio integrale indefinito?
"TeM":
Infine, per quanto riguarda l'integrazione per serie, per farsi un'idea basta guardare qui. Ora, per prima cosa occorre conoscere per bene gli sviluppi in serie e in secondo luogo occorre tener ben presente che tale tecnica integrativa è realmente utile qualora si fosse interessati a risolvere un integrale definito in un intervallo abbastanza ristretto cosicché l'approssimazione calcolata sviluppando l'integranda in serie di potenze sia ragionevolmente equivalente all'integranda stessa. Più o meno credo sia tutto
Io direi che, dato che $ e^t=1+t+\frac (t^2) (2!)+\frac (t^3) (3!)+... $
allora potrebbe essere un'idea integrare in questo modo:
$ \inte^(cosx)\dx \cong \int(1+cosx+\frac ((cosx)^2) (2!)+\frac ((cosx)^3) (3!)+...)\dx $
O no?
"TeM":
Per quanto riguarda l'integrazione per serie come detto prima si deve sapere bene cosa siano gli sviluppi in serie di potenze. In soldoni con essi si va ad approssimare nell'intorno di un punto una "funzione complicata" con un polinomio (la funzione più semplice del mondo
Scusami,ma non ho capito una cosa: ci sono sul fatto che $ cosx=\sum_(n=0)^\infty \frac ((-1)^nx^(2n)) (2n!) $
tuttavia una volta che si passa all'integrale $ \int e^{\cos x} \ dx = \int e^{1 - \frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots} \ dx $
non capisco come fai a passare a questo : $ \int ( e - \frac{e}{2}x^2 + \frac{e}{6}x^4 + \cdots) \ dx $ ,potresti gentilmente spiegarmi questo passaggio?
"TeM":
e possiamo scrivere tranquillamente "=" in quanto quei "puntini" implicano uno sviluppo infinito e quindi teoricamente a quel punto si ottiene esattamente la primitiva "scritta sotto forma di polinomio". Peccato che poi, nella pratica, tale discorso vale quel che vale. Per questo, se poi ci interessa calcolare l'area del sottografico dell'integranda, ossia calcolare un integrale definito si otterrà un risultato veritiero solamente nell'intorno del punto in cui si è calcolato lo sviluppo: in questo caso per \(x\to 0\). Ma ancora non basta. Fino a quanto posso "protrarmi"? Nel senso, se integro tra \(0\) e \(1\) fino a che grado mi tocca sviluppare in serie di potenze affinché il risultato sia "veritiero"?
Ok , su questo ci sono
"TeM":
Ho generato troppo caos?
Spero perlomeno sia chiaro il "succo" del discorso
Non preoccuparti non hai creato nessun caos , anzi è stato tutto molto utile
Grazie mille di tutto 
ho capito il passaggio . Comunque effettivamente , anche se lavorare per composizione di funzioni può essere rischioso, perché se si vuole ottenere un risultato decente si deve decidere dove "fermarsi" per ben 2 funzioni e non per una sola (spero di essermi spiegato), ho provato anche ad applicare direttamente la definizione e già arrivato alla derivata terza le cose iniziavano a diventare, non difficili, ma potenzialmente molto lunghe e noiose. Un'ultima cosa, in questo caso specifico, per ottenere un risultato "buono", indicativamente a quale termine mi consiglieresti di fermarmi per entrambe le funzioni ?
ho capito il passaggio . Comunque effettivamente , anche se lavorare per composizione di funzioni può essere rischioso, perché se si vuole ottenere un risultato decente si deve decidere dove "fermarsi" per ben 2 funzioni e non per una sola (spero di essermi spiegato), ho provato anche ad applicare direttamente la definizione e già arrivato alla derivata terza le cose iniziavano a diventare, non difficili, ma potenzialmente molto lunghe e noiose. Un'ultima cosa, in questo caso specifico, per ottenere un risultato "buono", indicativamente a quale termine mi consiglieresti di fermarmi per entrambe le funzioni ?
"TeM":
In ogni modo, per quel che possano valere le mie parole, non perderci troppo tempo nell'integrazione per serie dato che molto probabilmente all'esame di maturità non la incontrerai. Invece, se fatte in classe, studiati per bene le formule di quadratura quali quella del punto medio, del trapezio, di Cavalieri-Simpson, etc. che soprattutto se frequenti uno scientifico P.N.I. sono molto gettonate
Lo so , frequento un P.N.I ed infatti il mio professore le ha saltate a piè pari le serie , nemmeno un accenno. Però è sempre bene cercare di soddisfare le proprie curiosità . Grazie ancora di tutto
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