Insiemi: principio di equiestens. e prop. antisim. di $sube$
Mi sfugge la differenza tra il principio di equiestensione per gli insiemi e la proprietà antisimmetrica di $sube$. 
Ma che BIP di differenza c'è?
Elementi di matematica 3 (Ghietti e Corvi) li distingue utilizzanzo il primo per dimostrare la seconda.
Grazie
Ma che BIP di differenza c'è?
Elementi di matematica 3 (Ghietti e Corvi) li distingue utilizzanzo il primo per dimostrare la seconda.
Grazie
Risposte
Il principio di equiestensione è un assioma della Teoria degli Insiemi il quale dice che $forall A, forall B, A=B <=> forall x, (x in A <=> x in B)$.
L'inclusione è invece una relazione binaria tra insiemi che dice che $forall A, forall B, A subseteq B <=> forall x, (x in A => x in B)$.
La differenza è enorme: come puoi vedere nell'assioma di estensionalità nella parentesi tonda che un $<=>$, mentre nella parentesi tonada della definizione della relazione di inclusione c'è un $=>$: la prima è più forte della seconda, i.e. per avere $A=B$ non ti basta l'implicazione a destra $=>$ ma ti serve anche quella a sinistra $Leftarrow$, mentre per avere $A subseteq B$ ti basta quella a destra.
La proprietà antisimmetrica dice che $A subseteq B \wedge B subseteq A => A=B$. Accade questo: per definizione di $subseteq$, si ha $A subseteq B wedge B subseteq A$ equivale a $forall x, (x in A => x in B) wedge forall x, (x in B => x in A)$ che equivale a $forall x, ((x in A => x in B) wedge (x in B => x in A))$ che equivale a $forall x, x in A <=> x in B$. Per il principio di estensionalità puoi trarre allora $A=B$.
L'inclusione è invece una relazione binaria tra insiemi che dice che $forall A, forall B, A subseteq B <=> forall x, (x in A => x in B)$.
La differenza è enorme: come puoi vedere nell'assioma di estensionalità nella parentesi tonda che un $<=>$, mentre nella parentesi tonada della definizione della relazione di inclusione c'è un $=>$: la prima è più forte della seconda, i.e. per avere $A=B$ non ti basta l'implicazione a destra $=>$ ma ti serve anche quella a sinistra $Leftarrow$, mentre per avere $A subseteq B$ ti basta quella a destra.
La proprietà antisimmetrica dice che $A subseteq B \wedge B subseteq A => A=B$. Accade questo: per definizione di $subseteq$, si ha $A subseteq B wedge B subseteq A$ equivale a $forall x, (x in A => x in B) wedge forall x, (x in B => x in A)$ che equivale a $forall x, ((x in A => x in B) wedge (x in B => x in A))$ che equivale a $forall x, x in A <=> x in B$. Per il principio di estensionalità puoi trarre allora $A=B$.
Grazie WiZaRd.
Chiarissimo.
ma mi punirò per tanta miopia!
Piacere di averti conosciuto
Chiarissimo.
ma mi punirò per tanta miopia!
Piacere di averti conosciuto
"silente":
ma mi punirò per tanta miopia!
Cribbio ma così non è giusto! Non espierò più!
Ecco cosa dice ELEMENTI DI MATEMATICA 3
Diremo uguali due insiemi $A$ e $B$ quando hanno esattamente gli stessi elementi ossia quando ogni elemento di $A$ appartiene a $B$ e quando ogni elemento di $B$ appartiene ad $A$.
Inoltre
Spesso, per dimostrare che due insiemi sono uguali, si fa ricorso alla seguente proprietà:
$A=B$ se e solo se $A subeB$ e $BsubeA$
Detta proprietà antisimmetrica dell’inclusione.
Che dire?
Forse che da questi errori si può dedurre che quasi nessuno studia sul libro.
"silente":
Che dire?
Forse che da questi errori si può dedurre che quasi nessuno studia sul libro.
Non ti ho capito... sarà l'ora tarda...
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