Insiemi: era vera estensione?
Un po’ di tempo fa ho postato un topic in “Generale” sul modo di dare gli insiemi.
Il topic è “intensione ed estensione”. Se mi fate la cortesia di posarci lo sguardo chiariamo almeno la genesi dell’argomento. Cerco di riassumere.
Avevo detto che, secondo Gobbino (sant’uomo che mette le video lezioni a disposizione di tutti. Prima o poi avrò anche il tempo per guardarle!
), anche con una definizione per elenco si può dare un insieme infinito.
Ieri sera, lungi da brame, lungi da cose non salutari…….leggevo Russell. Costui afferma con chiarezza che la conoscenza di classi infinite può derivare unicamente da una definizione intensiva. Del resto pare accordarsi con l’intuizione. E io sono un sostenitore del principio di autorevolezza.
Allora voglio provare, anziché a giustificare, a contestare l’opinione di Gobbino
Dato l’insieme
AxB= {(a,b) t.c. a$in$A e b$in$B}
Gobbino lo dice essere definito per elenco, questo insieme può essere infinito, se è infinito non può essere definito per elenco. Siamo alla contraddizioni.
Sono giunto a questa considerazione:
l’asseganzione di un insieme per proprietà si dà in questo modo:
A={x t.c. x ha la proprietà P}
Dove x è una variabile
La scrittura
AxB= {(a,b) t.c. a$in$A e b$in$B}
è maligna.
In questa scrittura (a,b) non è, come potrebbe sembrare, una variabile ma un predicato nascosto.
In questa scrittura sono “nascoste due proprietà.
La prima riguarda gli elementi di AxB, infatti in quella formula la scrittura (a,b) è l’abbreviazione di x=(a,b) dove x è la variabile e “essere (a,b)” è la proprietà che l’elemento x deve verificare.
Purtroppo questo non ci basta a individuare l’insieme perché (a,b) non è noto e non si può dire se la proposizione, per un dato x, è vera.
Ora serve chiarire cosa (secondo me) vuol dire “essere (a,b)”. Significa avere un primo elemento ed un secondo elemento.
Così la 1° proprietà si può riformulare: x è qualcosa che ha “ un primo ed un secondo elemento”.
La seconda proposizione dice: il primo elemento appartiene ad A, il secondo appartiene a B.
Il secondo predicato dunque ha per soggetto il predicato della prima.
(mi scuserete se non ho saputo formalizzare cosa sia una coppia ordinata e se il lessico non è corretto ne coerente: c’è disaccordo sui miei libri nel definire cosa sia un predicato e proprietà e vedo che ho fatto confusione).
Allora questo insieme è dato per “Multi-proprietà” o coem volete chiamarlo. È ovvio che le proprietà possono essere più di due (basta che non diventino circolari)
Il caso con 2 non ricorda il sillogismo?
Se non ho detto fesserie non sarebbe meglio per queste definizioni una indicazione semantica diversa? Di sicuro non le direi per elenco. Del resto non sono per proprietà nel senso ordinario
Fatemi sapere. Grazie
Il topic è “intensione ed estensione”. Se mi fate la cortesia di posarci lo sguardo chiariamo almeno la genesi dell’argomento. Cerco di riassumere.
Avevo detto che, secondo Gobbino (sant’uomo che mette le video lezioni a disposizione di tutti. Prima o poi avrò anche il tempo per guardarle!
), anche con una definizione per elenco si può dare un insieme infinito.Ieri sera, lungi da brame, lungi da cose non salutari…….leggevo Russell. Costui afferma con chiarezza che la conoscenza di classi infinite può derivare unicamente da una definizione intensiva. Del resto pare accordarsi con l’intuizione. E io sono un sostenitore del principio di autorevolezza.
Allora voglio provare, anziché a giustificare, a contestare l’opinione di Gobbino
Dato l’insieme
AxB= {(a,b) t.c. a$in$A e b$in$B}
Gobbino lo dice essere definito per elenco, questo insieme può essere infinito, se è infinito non può essere definito per elenco. Siamo alla contraddizioni.
Sono giunto a questa considerazione:
l’asseganzione di un insieme per proprietà si dà in questo modo:
A={x t.c. x ha la proprietà P}
Dove x è una variabile
La scrittura
AxB= {(a,b) t.c. a$in$A e b$in$B}
è maligna.
In questa scrittura (a,b) non è, come potrebbe sembrare, una variabile ma un predicato nascosto.
In questa scrittura sono “nascoste due proprietà.
La prima riguarda gli elementi di AxB, infatti in quella formula la scrittura (a,b) è l’abbreviazione di x=(a,b) dove x è la variabile e “essere (a,b)” è la proprietà che l’elemento x deve verificare.
Purtroppo questo non ci basta a individuare l’insieme perché (a,b) non è noto e non si può dire se la proposizione, per un dato x, è vera.
Ora serve chiarire cosa (secondo me) vuol dire “essere (a,b)”. Significa avere un primo elemento ed un secondo elemento.
Così la 1° proprietà si può riformulare: x è qualcosa che ha “ un primo ed un secondo elemento”.
La seconda proposizione dice: il primo elemento appartiene ad A, il secondo appartiene a B.
Il secondo predicato dunque ha per soggetto il predicato della prima.
(mi scuserete se non ho saputo formalizzare cosa sia una coppia ordinata e se il lessico non è corretto ne coerente: c’è disaccordo sui miei libri nel definire cosa sia un predicato e proprietà e vedo che ho fatto confusione).
Allora questo insieme è dato per “Multi-proprietà” o coem volete chiamarlo. È ovvio che le proprietà possono essere più di due (basta che non diventino circolari)
Il caso con 2 non ricorda il sillogismo?
Se non ho detto fesserie non sarebbe meglio per queste definizioni una indicazione semantica diversa? Di sicuro non le direi per elenco. Del resto non sono per proprietà nel senso ordinario
Fatemi sapere. Grazie
Risposte
"silente":
La scrittura
$A \mbox{x} B= {(a,b) \mbox{ t.c. } a in A \mbox{ e } b in B}
è maligna.
La scrittura
$A \mbox{x} B= {(a,b) \mbox{ t.c. } a in A \mbox{ e } b in B}
è perfetta!!!
Denota l'insieme di tutte le coppie ordinate (concetto con una ben precisa definizione) tali che il primo elemento appartiene all'insieme $A$ ed il secondo elemento appartiene all'insieme $B$.
N.B. I concetti di "primo" e "secondo" elemento sono ben definibili.
In generale un insieme è ben definito quando, dato un elemento, riusciamo a stabilire se questo elemento appartiene o no all'insieme.
L'insieme $C:={est, sud} \mbox{x} {A,B}= {(a,b) \mbox{ t.c. } a in {est, sud} \mbox{ e } b in {A,B}}$ è ben definito.
Ad esempio $(est, B) in C$, $(ovest, A) notin C$, etc...
Quanto ad insiemi infiniti definiti per elenco, credo sia necessario usare i puntini di sospensione.
Ad esempio $NN={0,1,2,3,4,...}$
Secondo te perché Gobbino insiste molto sul fatto che quell'insieme è dato per elenco?
Secondo me quando si usano i puntini siamo sempre in presenza di una definizione intensiva:
si suppone (ed è ambiguo) che la serie data prima dei puntini sia sufficiente a farci capire la proprietà utile a individuare gli altri.
Circa le mie difficoltà tecniche sono innegabili ma non sono convinto della tua posizione.
Forse è solo che la mia impostazione, almeno per ora, ha bisogno di aggrappare la forma a qualcosa che è altro.
Grazie Russell
Secondo me quando si usano i puntini siamo sempre in presenza di una definizione intensiva:
si suppone (ed è ambiguo) che la serie data prima dei puntini sia sufficiente a farci capire la proprietà utile a individuare gli altri.
Circa le mie difficoltà tecniche sono innegabili ma non sono convinto della tua posizione.
Forse è solo che la mia impostazione, almeno per ora, ha bisogno di aggrappare la forma a qualcosa che è altro.
Grazie Russell
Forse non ho capito. Per te è una definizione per proprietà? Mi pare che tu dica questo.
Però è indubbio che "appartenere ad A" e "appartenere a B" non sono proprietà degli elementi dell'insieme.
Non è vero che l'elemento (a,b) ha quellè proprità sicchè in questo senso non può essere caratterizzante l'insieme.
Per questo suggerisco di dare un altro nome.
Però è indubbio che "appartenere ad A" e "appartenere a B" non sono proprietà degli elementi dell'insieme.
Non è vero che l'elemento (a,b) ha quellè proprità sicchè in questo senso non può essere caratterizzante l'insieme.
Per questo suggerisco di dare un altro nome.
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