Insieme numerico

[franchinho]

Salve, ho il seguente insieme numerico:
$ X={n/(n+1):epsilon N } $
Faccio le sostituzioni e ottengo: $ 0; 1/2; 2/3; 3/4; 4/5. $. Quando assegno ad $ n $ n $ +oo $ ottengo: ($+oo$)/($+oo$ +$1$) cioè ($+oo$)/($+oo$ ), che nei limiti è una forma indeterminata. Negli insiemi numerici quanto viene? Mi interessa capire se c'è una regola generale che vale sempre che permetta di sapere quanto valgono i rapporti, gli elevamenti a potenza, le somme, quando c'è di mezzo $+oo$. Quindi sia nel caso specifico, sia in generale. C'è qualche tabella?
Grazie

[@melia]

$(+oo)/(+oo)$ resta comunque una forma indeterminata, anche nel calcolo degli insiemi numerici, ma $n/(n+1)$ può essere scritto anche $n/(n+1)=(n+1-1)/(n+1)=(n+1)/(n+1)-1/(n+1)=1-1/(n+1)$, e questo quando $n -> +oo$ diventa $1-1/(n+1) -> 1 -1/(+oo) =1-0 =1$.

La tabella che dici è la stessa che viene usata per i limiti, come ad esempio questa.

[franchinho]

Grazie mille per la risposta melia, è stata molto chiara. Qualcuno mi ha detto che posso calcolare il valore semplicemente facendo il rapporto dei coefficienti di $n$, prendendo il coefficiente di $n$ al numeratore $(1)$ e quello di $n$ al denominatore $(1)$. La tabella che mi hai indicato l'avevo già scaricata, però ho notato che contiene pochi esempi sulle potenze. O meglio, conosco il comportamento di un numero maggiore di 1 elevato ad infinito. Ma nel caso in cui il numero in questione fosse $1$, come nell'altra forma indeterminata come: $(1)^(+infty)$ , sempre nel caso dell'insieme numerico?
Per esempio, se il mio insieme numerico fosse il seguente:
$ {(-1)^n:epsilon N} $, sostituendo i primi due valori di $n$ otterrei che per $n=0$ la $x$ è $1$ e per $n=1$ la $x$ è $-1$. Sostituendo, poi infine, ad $ n $ $+infty$ otterrei $(-1)^(+infty)$", che fa?

[@melia]

Il limite non esiste in quanto si tratta di una successione di termini a segno alterno.

[franchinho]

Quindi di questo insieme numerico potremmo dire:
1) che si rappresenta graficamente nella retta orientata $x$ con due pallini pieni in corrispondenza dei soli due punti isolati $-1$, $1$.
2) che è quindi un insieme finito, con cardinalità $2$;
3) che il suo interno è l'insieme vuoto;
4) che la frontiera di X è: $ FX={-1,1} $;
5) che la chiusura di X è uguale a X;
6) che l'insieme dei punti di accumulazione è l'insieme vuoto;
7) che X è chiuso;
8) che X non è aperto;
9) che la frontiera è finita;
10) che l'insieme dei punti d'accumulazione è finito;
11) che il $ INFX=minX=-1 $, cioè che il minorante di X è uguale al minimo di X.
12) che il $ SUPX=maxX=1 $ , cioè che il maggiorante di X è uguale al massimo di X.
Mi puoi confermare se nel caso dell'insieme precedente e in altri casi simili (con numeri diversi) si può fare il rapporto dei coefficienti di n?

[franchinho]

Inoltre, anche il seguente insieme numerico genera una successione di termini a segno alterno, ma il limite per x che tende a $+infty$ fa 0:
$ {(-1/2)^n} $
quindi non è sempre vero che il limite di una successione di termini a segno alterno non esiste, vale solo quando c'è il $-1$, o sbaglio? Mi scusi per la banalità di queste domande, non sono assolutamente un matematico.

[@melia]

In questo caso separando le due successioni, quella ad esponenti pari e quindi con termini positivi da quella con esponenti dispari e conseguenti termini negativi, si ottengono due successioni entrambe convergenti a 0, quindi anche la successione completa converge a 0.

[franchinho]

Esistono dei trucchetti per vedere immediatamente a quanto tendono questi tipi di insiemi numerici? è valido il trucco del rapporto dei coefficienti quando n ha pari grado? Io sto studiando gli insiemi senza aver fatto mai prima le successioni, ma non le ho fatte, proprio perché non sono in programma, quindi qualche trucco deve esserci penso. Quest'altro insieme, per esempio, a quanto tende?
$ { 1/(n+1)+(-1)^n:epsilon N} $ .
Inoltre, io so dall'algebra degli infiniti che $k^(+infty)$ = $+infty$ se $k$>$1$ e che $k^(+infty)$ = 0 se $0

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[@melia]

Per elevare alla $oo$ un numero negativo, tipo $(-k)^(+oo)$ con $k>0$ basta separare il modulo dal segno e diventa

$(-1)^(+oo)*(+k)^(+oo)$, se $(+k)^(+oo) -> 0$ allora $(-1)^(+oo)*(+k)^(+oo) -> +- 0 = 0$ mentre

se $(+k)^(+oo) -> +oo$ allora $(-1)^(+oo)*(+k)^(+oo) $ è una forma indeterminata che diverge con termini che passano da $+oo$ a $-oo$.