Insieme numerico
Dato l’insieme numerico $A={ x | x=3/(n+1) ^^ n inNN}$ verifichiamo se è limitato;
ho pensato di fare così:
l’insieme numerico è limitato superiormente$ (AA n in NN x<=3)$
e poi ho verificato l’affermazione risolvendo la disequazione
$3/(n+1)<=3->3<=3n+3->3n>=0$ (sempre verificata dato che $n in NN$)
Adesso cerco di stabilire se l’insieme numerico è limitato anche inferiormente:
intuitivamente capisco che tutti gli $x$ sono maggiori di $0$ per cui l’insieme è limitato inferiormente e
inf(A)=$0$
il mio dubbio è come faccio però a dimostrare che l’insieme è limitato anche inferiormente…io l’ho solo intuito.
Ho pensato di risolvere $3/(n+1)>=l$….ma ho dubbi e poi ho pensato
$3/(n+1)=(n+1+2-n)/(n+1)=1+(2-n)/(n+1)>0$
ho pensato di fare così:
l’insieme numerico è limitato superiormente$ (AA n in NN x<=3)$
e poi ho verificato l’affermazione risolvendo la disequazione
$3/(n+1)<=3->3<=3n+3->3n>=0$ (sempre verificata dato che $n in NN$)
Adesso cerco di stabilire se l’insieme numerico è limitato anche inferiormente:
intuitivamente capisco che tutti gli $x$ sono maggiori di $0$ per cui l’insieme è limitato inferiormente e
inf(A)=$0$
il mio dubbio è come faccio però a dimostrare che l’insieme è limitato anche inferiormente…io l’ho solo intuito.
Ho pensato di risolvere $3/(n+1)>=l$….ma ho dubbi e poi ho pensato
$3/(n+1)=(n+1+2-n)/(n+1)=1+(2-n)/(n+1)>0$
Risposte
La prima parte mi piace, la seconda un po' meno. Perché non limitarsi a dimostrare che $3/(n+1) > 0$, nella scomposizione che hai fatto i il numeratore non è sempre positivo.
Scusami ma per dimostrare che $3/{n+1}$ è sempre maggiore di zero, basta che osservi che $n in NN$ implica $n + 1 > 0 forall n$ e quindi la frazione sarà sicuramente positiva per ogni $n$ 
Premesso che $3/(n+1)>0(AAninNN)$,l'insieme è limitato inferiormente e così facendo l'ho dimostrato..il mio problema però
è questo: come faccio a ricavarmi lo zero..perchè io l'ho solo intuito..
potevo calcolare il limite per esempio e trovare $0$...ma se non conoscessi i limiti?
è questo: come faccio a ricavarmi lo zero..perchè io l'ho solo intuito..
potevo calcolare il limite per esempio e trovare $0$...ma se non conoscessi i limiti?
Mi pare che la risposta di Gendarmevariante sia esaustiva: il numeratore è sempre positivo, il denominatore anche, quindi il rapporto è sempre maggiore di 0 e l'intervallo è limitato inferiormente, tu ti poni il problema di determinare l'estremo inferiore che è un'altra storia.
Proprio così...è ovvio che in quel caso l'estremo inferiore è zero...ma se io non l'avessi riconosciuto...algebricamente come avrei potuto fare.
Per esempio un modo poteva essere
$lim_(n->+oo)3/(n+1)=0$
Cerco altri modi per meglio capire..per esempio con le scomposizioni( la mia era errata) come potrei fare?
Per esempio un modo poteva essere
$lim_(n->+oo)3/(n+1)=0$
Cerco altri modi per meglio capire..per esempio con le scomposizioni( la mia era errata) come potrei fare?
Non sono ricorso a nessun limite, ho solo notato che entrambi i fattori erano positivi 
poi il limite inferiore poteva benissimo essere qualunque cosa, ma di sicuro tutti i termini erano maggiori (almeno) di zero. Dal mio ragionamento non deriva in nessun modo che il limite inferiore è 0. Non volevo trovare l'estremo inferiore, ma solo un minorante.
Tanto tu devi solo dimostrare che l'insieme è limitato, non ti serve stabilire esattamente gli estremi!!
La tua scomposizione quindi non era errata (era errata semmai solo l'ultima maggiorazione, perché $2 - n$ è negativo per $n>2$), ma era inutile, perché esiste questo metodo molto più semplice.
Ma se proprio vuoi trovarli "senza usare i limiti", allora... beh, è una cosa che mi sono chiesto spesso anche io! Devi andare a intuito
anche all'università ti fanno prima cercare gli estremi degli insiemi con una tecnica intuitiva molto simile a quella dei limiti, ma prima di aver fatto nella teoria i limiti stessi... è strano, ma è così! In pratica devi scriverti tutti gli elementi dell'insieme dal primo fino a un certo valore di n, poi provi a immaginare dove stanno andando a finire!
poi il limite inferiore poteva benissimo essere qualunque cosa, ma di sicuro tutti i termini erano maggiori (almeno) di zero. Dal mio ragionamento non deriva in nessun modo che il limite inferiore è 0. Non volevo trovare l'estremo inferiore, ma solo un minorante.Tanto tu devi solo dimostrare che l'insieme è limitato, non ti serve stabilire esattamente gli estremi!!
La tua scomposizione quindi non era errata (era errata semmai solo l'ultima maggiorazione, perché $2 - n$ è negativo per $n>2$), ma era inutile, perché esiste questo metodo molto più semplice.
Ma se proprio vuoi trovarli "senza usare i limiti", allora... beh, è una cosa che mi sono chiesto spesso anche io! Devi andare a intuito
anche all'università ti fanno prima cercare gli estremi degli insiemi con una tecnica intuitiva molto simile a quella dei limiti, ma prima di aver fatto nella teoria i limiti stessi... è strano, ma è così! In pratica devi scriverti tutti gli elementi dell'insieme dal primo fino a un certo valore di n, poi provi a immaginare dove stanno andando a finire!
Concorde con quello che dici, ma voglio proporre un esempio
Consideriamo l’insieme numerico dato dalla successione $n^2-6n$ i cui termini sono
$0,-5,-8,-9,-8,-5,0,7,16,27,…$ i suoi termini sono maggiori o uguali a $-9$
Per dimostrarlo basta risolvere
$n^2-6n>=-9->(n-3)^2>=0$ che è una disequazione verificata per ogni $n$
Possiamo perciò affermare che l’insieme numerico è inferiormente limitato.
Intuitivamente si può anche capire che questo insieme numerico non è limitato superiormente…ma come faccio a dimostrarlo?
Ebbene potrei risolvere la disequazione letterale nell’incognita $n$
$n^2-6n<=L$ (non metto la risoluzione) e noterò che essa non sarà mai soddisfatta per tutti gli $ninNN$.
Posso perciò affermare che l’insieme numerico non è limitato superiormente.
Se vado però a considerare l’insieme numerico dato dalla successione $1/n$ i cui termini sono
$(1,1/2,1/3,1/4…)$ capisco che tutti i termini sono $<=1$ e lo posso anche dimostrare
$1/n<=1$, poi si intuisce che tutti i termini sono maggiori zero, per cui dirò che l’insieme numerico è anche limitato inferiormente…
per cui sarei tentato di risolvere la disequazione letterale
$1/n<=l$ che non mi fa capire nulla (se al posto di $l$ metto $0$ è ovvio che la disequazione risulta sempre verificata).
Quindi mi chiedo da tempo come si deve fare in questi casi dove la dimostrazione attraverso una disequazione letterale non funziona? Si intuisce e basta…mi sembra veramente poco che la matematica si fermi qui.
Consideriamo l’insieme numerico dato dalla successione $n^2-6n$ i cui termini sono
$0,-5,-8,-9,-8,-5,0,7,16,27,…$ i suoi termini sono maggiori o uguali a $-9$
Per dimostrarlo basta risolvere
$n^2-6n>=-9->(n-3)^2>=0$ che è una disequazione verificata per ogni $n$
Possiamo perciò affermare che l’insieme numerico è inferiormente limitato.
Intuitivamente si può anche capire che questo insieme numerico non è limitato superiormente…ma come faccio a dimostrarlo?
Ebbene potrei risolvere la disequazione letterale nell’incognita $n$
$n^2-6n<=L$ (non metto la risoluzione) e noterò che essa non sarà mai soddisfatta per tutti gli $ninNN$.
Posso perciò affermare che l’insieme numerico non è limitato superiormente.
Se vado però a considerare l’insieme numerico dato dalla successione $1/n$ i cui termini sono
$(1,1/2,1/3,1/4…)$ capisco che tutti i termini sono $<=1$ e lo posso anche dimostrare
$1/n<=1$, poi si intuisce che tutti i termini sono maggiori zero, per cui dirò che l’insieme numerico è anche limitato inferiormente…
per cui sarei tentato di risolvere la disequazione letterale
$1/n<=l$ che non mi fa capire nulla (se al posto di $l$ metto $0$ è ovvio che la disequazione risulta sempre verificata).
Quindi mi chiedo da tempo come si deve fare in questi casi dove la dimostrazione attraverso una disequazione letterale non funziona? Si intuisce e basta…mi sembra veramente poco che la matematica si fermi qui.
Facciamola correre un altro pò allora,dai,stà benedetta Matematica 
!
Ti sei fatto trarre in inganno nell'interpretazione dell'illimitatezza superiore:
essa equivale a dire,diversamente da come l'hai vista,che $AAk in RR$ $EEn_k inNN" t.c. "n_k^2-6n_k>k$ (*),
e mi sà che sei in grado,fissato a piacere un qualunque numero reale $overline(k)$(andrebbe bene pure "solo" positivo..),
d'osservare che,a tale scopo,un "buon" $n_(overline(k))$ è,se $overline(k)>=0$,il successivo della parte intera di $sqrt(9+4overline(k))$,
mentre,qualora $overline(k)<0$,è ad esempio $6$(ma pure i naturali che ne son maggiori..)!
Poi non ho capito una cosa:
dal fatto evidente che $n>=1$,che difficoltà hai a dedurre che $0<1/n<=1$?
Saluti dal web.
(*)In parole più povere un insieme numerico $X$ è limitato superiormente se possiamo individuare un numero reale $k$ che sia $>=$ d'ogni elemento di $X$:
pertanto un insieme numerico $Y$ sarà non limitato superiormente se,
per quanto possiamo pensare di fissare grande un numero reale $k$,c'è almeno un elemento di $Y$ maggiore di esso..
!Ti sei fatto trarre in inganno nell'interpretazione dell'illimitatezza superiore:
essa equivale a dire,diversamente da come l'hai vista,che $AAk in RR$ $EEn_k inNN" t.c. "n_k^2-6n_k>k$ (*),
e mi sà che sei in grado,fissato a piacere un qualunque numero reale $overline(k)$(andrebbe bene pure "solo" positivo..),
d'osservare che,a tale scopo,un "buon" $n_(overline(k))$ è,se $overline(k)>=0$,il successivo della parte intera di $sqrt(9+4overline(k))$,
mentre,qualora $overline(k)<0$,è ad esempio $6$(ma pure i naturali che ne son maggiori..)!
Poi non ho capito una cosa:
dal fatto evidente che $n>=1$,che difficoltà hai a dedurre che $0<1/n<=1$?
Saluti dal web.
(*)In parole più povere un insieme numerico $X$ è limitato superiormente se possiamo individuare un numero reale $k$ che sia $>=$ d'ogni elemento di $X$:
pertanto un insieme numerico $Y$ sarà non limitato superiormente se,
per quanto possiamo pensare di fissare grande un numero reale $k$,c'è almeno un elemento di $Y$ maggiore di esso..
Dal fatto evidente che $n>=1$,che difficoltà hai a dedurre che $0<1/n<=1$?
Nessuna: faccio una sintesi per meglio spiegarmi..
nel primo caso ho dimostrato e non solo intuito che l'insieme $n^2-6$ è limitato superiormente e inferiormente (Conoscevo anche la procedura usata da te per stabilire l'illimitatezza superiore, ma non l'ho voluta usare!)
nel secondo caso $1/n$
sono riuscito a dimostrare che l'insieme numerico è limitato superiormente : $1/n<=L$ disequazione sempre verificata essdendo in questo caso $L=1$
ma come faccio algebricamente a dimostrare che $1/n<=l$ solo intuendo e senza difficoltà che tutti i termini sono maggiori di zero...se volessi trovare in questo caso l'estremo inferiore (facciamo finta di non intuire chi è l'estremo inferiore) esiste un modo?
grazie per la collaborazione
Nessuna: faccio una sintesi per meglio spiegarmi..
nel primo caso ho dimostrato e non solo intuito che l'insieme $n^2-6$ è limitato superiormente e inferiormente (Conoscevo anche la procedura usata da te per stabilire l'illimitatezza superiore, ma non l'ho voluta usare!)
nel secondo caso $1/n$
sono riuscito a dimostrare che l'insieme numerico è limitato superiormente : $1/n<=L$ disequazione sempre verificata essdendo in questo caso $L=1$
ma come faccio algebricamente a dimostrare che $1/n<=l$ solo intuendo e senza difficoltà che tutti i termini sono maggiori di zero...se volessi trovare in questo caso l'estremo inferiore (facciamo finta di non intuire chi è l'estremo inferiore) esiste un modo?
grazie per la collaborazione
Continuo a non capire perché sottovaluti la forza della teoria delle disequazioni
(il "laser dell'Analisi Matematica",per citare nuovamente un mio vecchio ed indimenticabile Prof di Scuola Superiore..):
è l'arma "standard" che vai cercando,
e ad esempio potresti usarla nel tuo caso dicendo che $n>=1$ $AAn inNN rArr 1/n<=1$ $AAn inNN$..
Saluti dal web.
(il "laser dell'Analisi Matematica",per citare nuovamente un mio vecchio ed indimenticabile Prof di Scuola Superiore..):
è l'arma "standard" che vai cercando,
e ad esempio potresti usarla nel tuo caso dicendo che $n>=1$ $AAn inNN rArr 1/n<=1$ $AAn inNN$..
Saluti dal web.
ad esempio potresti usarla nel tuo caso dicendo che $n>=1$ $AAn inNN rArr 1/n<=1$ $AAn inNN$..
e di conseguenza
$n>=1$ $AAn inNN rArr 1/n>0$ $AAn inNN$ e la chiudiamo qui...diversamente come si può fare?
e di conseguenza
$n>=1$ $AAn inNN rArr 1/n>0$ $AAn inNN$ e la chiudiamo qui...diversamente come si può fare?
Continuo a non capire il tuo voler scansare l'uso della teoria delle disequazioni per provare
(e trovare..)una diseguaglianza!
Mi spiego meglio,dai:
siamo d'accordo come il tuo problema sia far saltare fuori,
ammesso e non concesso a priori che ci siano,un minorante ed un maggiorante del tuo insieme $X$ di numeri reali,
cui và aggiunta la tua ricerca per tale classe di quesiti d'un veloce algoritmo standard il quale esuli dalla natura degli elementi di $X$?
In tal caso ti rispondo da subito alla seconda esigenza,
che forse è il tuo proposito che ritieni più incombente e non ti lascia del tutto tranquillo nel guardare con equilibrio quest'argomento:
la proprietà caratteristica con la quale si definiscono gli elementi di $X$ è troppo decisiva,
ai fini dell'individuazione dei suoi eventuali estremi,
e dunque ognuno fà storia a sé stante..
Con mezzi analitici più "avanzati" di quelli di cui credo tu disponga in questo momento,potresti in effetti risolvere in modo più algoritmico il tuo problema
(per inciso ti dico che un modo "standard" per provare a determinare gli estremi d'una successione numerica è, stabilitane l'eventuale monotonia,
calcolarne il primo elemento ed il limite che proprio per la monotonia certamente essa ammette,
ma proprio l'uso dell'aggettivo eventuale ti porta a comprendere che non sempre è destinato al successo..):
il fatto è che alla base di quei mezzi c'è proprio la teoria delle disequazioni
(o laser dell'Analisi che dir si voglia..),
e credo che domande come quella a te posta abbiano lo scopo d'introdurti gradualmente alla specifica ottica del fondamentale uso di tale teoria che si fà quando la Matematica "cresce" un pò!
Detto ciò permettimi un rilancio che ti sarà utile per far chiarezza:
come avresti risposto al quesito,
se gli elementi del tuo insieme fossero stati del tipo $((-1)^n)/n$?
Saluti dal web.
(e trovare..)una diseguaglianza!
Mi spiego meglio,dai:
siamo d'accordo come il tuo problema sia far saltare fuori,
ammesso e non concesso a priori che ci siano,un minorante ed un maggiorante del tuo insieme $X$ di numeri reali,
cui và aggiunta la tua ricerca per tale classe di quesiti d'un veloce algoritmo standard il quale esuli dalla natura degli elementi di $X$?
In tal caso ti rispondo da subito alla seconda esigenza,
che forse è il tuo proposito che ritieni più incombente e non ti lascia del tutto tranquillo nel guardare con equilibrio quest'argomento:
la proprietà caratteristica con la quale si definiscono gli elementi di $X$ è troppo decisiva,
ai fini dell'individuazione dei suoi eventuali estremi,
e dunque ognuno fà storia a sé stante..
Con mezzi analitici più "avanzati" di quelli di cui credo tu disponga in questo momento,potresti in effetti risolvere in modo più algoritmico il tuo problema
(per inciso ti dico che un modo "standard" per provare a determinare gli estremi d'una successione numerica è, stabilitane l'eventuale monotonia,
calcolarne il primo elemento ed il limite che proprio per la monotonia certamente essa ammette,
ma proprio l'uso dell'aggettivo eventuale ti porta a comprendere che non sempre è destinato al successo..):
il fatto è che alla base di quei mezzi c'è proprio la teoria delle disequazioni
(o laser dell'Analisi che dir si voglia..),
e credo che domande come quella a te posta abbiano lo scopo d'introdurti gradualmente alla specifica ottica del fondamentale uso di tale teoria che si fà quando la Matematica "cresce" un pò!
Detto ciò permettimi un rilancio che ti sarà utile per far chiarezza:
come avresti risposto al quesito,
se gli elementi del tuo insieme fossero stati del tipo $((-1)^n)/n$?
Saluti dal web.
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo