Insieme di definizione della funzione

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto su questo esercizio:
Si determini l'insieme di definizione della funzione f definita da:

[math]f\left ( x \right )=log_{2}\left ( 9^{2sin^{2}x}-3^{tan^{2}x} \right )\cdot arcsin\left ( \frac{x}{\pi } \right )[/math]

L’insieme di definizione della funzione arcoseno è [-1,1] e la funzione logaritimica è definita per valori positivi dell’argomento, si ha:

[math]\left\{\begin{matrix}
-1\leq \frac{x}{\pi }\leq 1\\ \, \, \,
\\
9^{2sin^{2}x}-3^{tan^{2}x}> 0
\end{matrix}\right.[/math]

per la prima disequazione risulta:

[math] -\pi\leq x\leq \pi[/math]

per la seconda disequazione:

[math]9^{2sin^{2}x}-3^{tan^{2}x}> 0[/math]

[math]3^{2{\left ( 2sin^{2}x \right )}}-3^{tan^{2}x} > 0 [/math]

Passando agli argomenti

[math]2{\left ( 2sin^{2}x \right )}-{tan^{2}x}> 0 [/math]

[math] 4sin^{2}x -{tan^{2}x}> 0 [/math]

è giusto??
ora come la faccio a risolverla..
fatemi sapere..
grazie

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Fino a quel punto è tutto ok.

Ora procederei così...

[math]
\begin{aligned}
4\sin^2 x - \tan^2 x > 0
\; & \Leftrightarrow \; 4\tan^2 x\cos^2 x - \tan^2 x > 0 \\
\; & \Leftrightarrow \; \tan^2x\left(4\cos^2 x - 1\right) > 0 \\
\; & \Leftrightarrow \; \tan^2x\left(2\cos x + 1\right)\left(2\cos x - 1\right) > 0 \\
\end{aligned}
[/math]

e a questo punto studierei la positività di tutti e tre i fattori e farei il
classico prodotto dei segni. Dai, prova a concludere da sola. :)

[insule23]

allora abbiamo che

[math]tan^2x[/math]

è sempre maggiore di zero e quindi sarà sufficiente risolvere:

[math]\left(2\cos x + 1\right)> 0[/math]

da cui

[math]cosx>-\frac{1}{2}[/math]

e

[math]cosx>\frac{1}{2}[/math]

per la seconda abbiamo

[math]0 < x< \frac{\pi }{3}[/math]

[math]\vee [/math]

[math]\frac{5}{3}\pi < x < 2\pi[/math]

mentre per la prima non riesco a risolverla...
se mi potete aiutare..
grazie

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Tenendo conto che

[math]-\pi \le x \le \pi\\[/math]

, si ha:

1.

[math]\tan^2 x > 0 \; \Leftrightarrow \; x\ne 0 \, \land \, x\ne\pm\pi\\[/math]

;

2.

[math]\cos x > -\frac{1}{2} \; \Leftrightarrow \; -\frac{2}{3}\pi < x < \frac{2}{3}\pi\\[/math]

;

3.

[math]\cos x > \frac{1}{2} \; \Leftrightarrow \; -\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}\\[/math]

.

Dunque, possiamo concludere che
[math]\small D_f = \left\{x \in \mathbb{R} : -\pi < x

[insule23]

ok...
un'altro dubbio come hai risolto il seno portandolo come tangente..
se me lo puoi spiegare...
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ho semplicemente moltiplicato/diviso

[math]\sin^2 x[/math]

per

[math]\cos^2 x[/math]

. ;)