Insieme di definizione
Ciao a tutti e buona sera ho da calcolare un dominio un pò difficile e non ci riesco, in ogni modo l'esercizio è:
$y=log[2(5^x)-3(2^x)]$ la soluzione è: $]log_(5/2)3/2; +oo[$
Allora l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero, quindi risolvere la disuguaglianza:
$2(5^x)-3(2^x)>0$
$10^x-6^x>0$
e poi non riesco a continuare... un aitino?
$y=log[2(5^x)-3(2^x)]$ la soluzione è: $]log_(5/2)3/2; +oo[$
Allora l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero, quindi risolvere la disuguaglianza:
$2(5^x)-3(2^x)>0$
$10^x-6^x>0$
e poi non riesco a continuare... un aitino?
Risposte
"domy90":
...$10^x-6^x>0$
Questo passaggio è sbagliato.
La disequazione diventa $(5/2)^x>3/2$ e poi devi passare ai logaritmi...
Come ti è venuto fuori $10^x-6^x>0$? E' sbagliatissimo! $2(5^x)!=10^x$ Semmai $(2^x)(5^x)=10^x$
Torniamo indietro: $2(5^x)-3(2^x)>0$ è giusta. Io ti consiglio, per procedere, di dividere tutto per $2^x$ (che è sempre positivo, dunque il segno della disequazione non cambia)
Torniamo indietro: $2(5^x)-3(2^x)>0$ è giusta. Io ti consiglio, per procedere, di dividere tutto per $2^x$ (che è sempre positivo, dunque il segno della disequazione non cambia)
ma perchè divido per $2^x$ solo per il fatto che il segno della disequazione non cambia?
No, non solo per quello (ovviamente). Tu dividi, guarda cosa viene.... Se non commetti errori, in pochi passaggi arriverai alla disequazione scritta da MaMo
ma devo dividere così:
$(2/2^x)(5^x/2^x)-(3/2^x)(2^x/2^x)???$
$(2/2^x)(5^x/2^x)-(3/2^x)(2^x/2^x)???$
allora dai conti mi viene:
$1/1^x(5^x/2^x)-3/2^x>0$
ora quell'$1/1^x$ è venuto fuori dal termine $2/2^x$ perchè ho semplificato il $2$ ma la $x$ al denominatore con chi la semplifico?
$1/1^x(5^x/2^x)-3/2^x>0$
ora quell'$1/1^x$ è venuto fuori dal termine $2/2^x$ perchè ho semplificato il $2$ ma la $x$ al denominatore con chi la semplifico?
"domy90":
ma devo dividere così:
$(2/2^x)(5^x/2^x)-(3/2^x)(2^x/2^x)???$
NO!
Dividere tutto per $2^x$ significa dividere i due termini della disequazione, nella loro interezza. Quindi:
$((2*5^x)-(3*2^x))/2^x)>0$
ossia:
$((2*5^x)/2^x)-((3*2^x)/2^x)>0$
Semplificando:
$(2*5^x)/2^x-3>0$
quindi
$(2*5^x)/2^x>3$
quindi
$5^x/2^x>3/2$
quindi
$(5/2)^x>3/2$
siccome $5/2>1$ viene
$x>log_(5/2)(3/2)$
No, non ci siamo....Non devi dividere ogni singolo fattore per $2^x$, ma ogni termine... Così:
$[2(5^x)-3(2^x)]/2^x>0 rArr 2(5^x)/2^x-3(2^x)/2^x>0/2^x$
Ora, $0/2^x=0$, $5^x/2^x=(5/2)^x$ e, infine, $2^x/2^x=1$... Perciò ottieni $2(5/2)^x-3>0$ da cui $(5/2)^x>3/2$
$[2(5^x)-3(2^x)]/2^x>0 rArr 2(5^x)/2^x-3(2^x)/2^x>0/2^x$
Ora, $0/2^x=0$, $5^x/2^x=(5/2)^x$ e, infine, $2^x/2^x=1$... Perciò ottieni $2(5/2)^x-3>0$ da cui $(5/2)^x>3/2$
ok capito ma perchè si divide per $2^x$ oltre per il fatto che non cabia la disequazione?
ma per passare dall'eponenziale al logaritmo si è applicata una formula in particolare?
Per risolvere una equazione/disequazione esponenziale passando al logaritmo questa deve essere del tipo $a*b^(f(x))>c*d^(g(x))$, meglio ancora se riesci a portarla nella forma $a^(f(x))>b$, adesso
- se applichi un logaritmo con base maggiore di 1, che è quindi una funzione crescente, si mantiene la disuguaglianza, puoi scegliere la base del logaritmo che, nel secondo caso è opportuno che sia $a$, ricapitolando se $a>1$ la disequazione diventa $log_a a^(f(x))>log_a b$, adesso prima si applica il teorema che permette di mettere in evidenza l'esponente $f(x)*log_a a>log_a b$ e poi per la definizione di logaritmo ottengo $f(x)>log_a b$ da cui si ricava $x$
- se $0
Se non riesci a trasformare l'esercizio in forma compatta puoi comunque applicare il logaritmo anche in $a*b^(f(x))>c*d^(g(x))$, di solito in questi casi si usa il logaritmo naturale (ln o lg) o quello in base 10 (Log), questi logaritmi hanno sicuramente la base maggiore di 1 perciò mantengono la disuguaglianza $lg(a*b^(f(x)))>lg(c*d^(g(x)))$, applicando il teorema del prodotto diventano $lg a+ lg(b^(f(x)))>lg c + lg(d^(g(x)))$ adesso metti in evidenza gli esponenti, porti i termini con l'incognita tutti dalla stessa parte ....
- se applichi un logaritmo con base maggiore di 1, che è quindi una funzione crescente, si mantiene la disuguaglianza, puoi scegliere la base del logaritmo che, nel secondo caso è opportuno che sia $a$, ricapitolando se $a>1$ la disequazione diventa $log_a a^(f(x))>log_a b$, adesso prima si applica il teorema che permette di mettere in evidenza l'esponente $f(x)*log_a a>log_a b$ e poi per la definizione di logaritmo ottengo $f(x)>log_a b$ da cui si ricava $x$
- se $0
Se non riesci a trasformare l'esercizio in forma compatta puoi comunque applicare il logaritmo anche in $a*b^(f(x))>c*d^(g(x))$, di solito in questi casi si usa il logaritmo naturale (ln o lg) o quello in base 10 (Log), questi logaritmi hanno sicuramente la base maggiore di 1 perciò mantengono la disuguaglianza $lg(a*b^(f(x)))>lg(c*d^(g(x)))$, applicando il teorema del prodotto diventano $lg a+ lg(b^(f(x)))>lg c + lg(d^(g(x)))$ adesso metti in evidenza gli esponenti, porti i termini con l'incognita tutti dalla stessa parte ....
si divide per poter arrivare ad una soluzione! Qualcosa devi pur fare 
cioè si, io intendevo se si divide per un motivo preciso cioè come si sa cosa fare al primo colpo? per non andare allo sbaraglio o a tentativi?
"domy90":
ok capito ma perchè si divide per $2^x$ oltre per il fatto che non cabia la disequazione?
dovrai in qualche modo "isolare" la $x$...
ah ecco quindi cerchi di ricondurti alla forma normale, quindi non si deve fare sempre....
e se invece dall'esponenziale si vuole passare al logaritmo?
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