Insieme di definizione

[insule23]

salve avrei bisogno di un aiuto don la determinazione dell'insieme di definizione della funzione f definita da:

[math]f(x)=\sqrt{log_{\frac{\pi }{6}}\left | arcsin \frac{2x^2-x}{2} \right |-1}[/math]

grazie...

[bimbozza]

ribadisco il concetto: quando posti un esercizio posta anche un tuo tentativo se vuoi ricevere un aiuto...

[insule23]

ho provato in questo modo...
Per l'insieme di definizione esaminiamo tutte le funzioni contenute in quella data.
Si ha:

[math]\frac{2x^2-x}{2}[/math]

non si azzera mai, quindi è definita per ogni

[math]x\epsilon R[/math]

.

la funzione trigonometrica

[math]arcsen(t)[/math]

esiste per ogni

[math]t\epsilon R[/math]

tranne nei punti

[math]t1[/math]

;
quindi

[math]arcsen(\frac{2x^2-x}{2})[/math]

esiste per ogni

[math]x\epsilon R[/math]

tranne nei punti

[math]x< \frac{1}{4}\left ( 1-\sqrt{17} \right )[/math]

e

[math]x> \frac{1}{4}\left ( 1+\sqrt{17} \right )[/math]

.

Inoltre la funzione

[math]|t|[/math]

è definita per ogni

[math]t\epsilon R[/math]

.

la funzione logaritmo deve avere un argomento maggiore di zero ovvero deve valere:

[math]\frac{1}{4}\left ( 1-\sqrt{17} \right )\leq x< 0 [/math]

[math]\vee 0< x< \frac{1}{2}[/math]

[math]\vee\frac{1}{2}< x\leq \frac{1}{4}\left ( 1+\sqrt{17} \right )[/math]

.

La radice quadrata deve avere un argomento maggiore o uguale a zero ovvero:
[math]-\frac{1}{2}\leq < x< 0 \vee 0

[bimbozza]

c'è qualche errore e qualche imprecisione:
-

[math]\frac{2x^2-x}{2}[/math]

non è che non si azzera mai (infatti si azzera per x=0 e x=1/2) ma ha dominio

[math]R[/math]

perchè è una funzione razionale intera.
-il logaritmo è vero che deve avere un argomento maggiore di zero, ma avendo per argomento un valore assoluto esso risulterà sempre tale a meno che non sia proprio zero.
Ne segue che il dominio si ottiene risolvendo il sistema:

[math]\begin{cases} -1 \leq \frac{2x^2-x}{x} \leq 1\\ arcsin \frac{2x^2-x}{2} \not=0\\ log_{\frac{\pi}{6}} |arcsin \frac{2x^2-x}{2}| -1\geq 0 \end{cases}[/math]

[insule23]

scusami come risolvo:

[math]arcsin \frac{2x^2-x}{2} \not=0[/math]

e

[math]\ log_{\frac{\pi}{6}} |arcsin \frac{2x^2-x}{2}| -1>=0[/math]

..

scusami ma sto in confusione..

[bimbozza]

per risolvere la prima devi pensare: qual'è l'angolo nell'intervallo

[math][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/math]

il cui seno è zero? ovviamente è zero, quindi possimo scrivere

[math]arcsin \frac{2x^2-x}{2} \not=arcsin 0[/math]

e quindi

[math] \frac{2x^2-x}{2} \not=0[/math]

. Da qui in poi non penso ci sia bisogno di spiegarla.
Passiamo al secondo:

[math]log_\frac{\pi}{6} |arcsin \frac{2x^2-x}{2}| \geq 1[/math]

Per definizione, il logaritmo è l'esponente da dare alla base per avere l'argomento. Volendo trasformare

[math]1[/math]

in logaritmo, quindi, che argomento dovremo metterci? Una volta che avrai risposto a questa semplicissima domanda potrai scrivere

[math]1[/math]

sotto forma di logaritmo in base

[math]\pi/6[/math]

e procedere come per il caso precedente.
Se non sono stata chiara, chiedi pure ;)

[insule23]

mi puoi dire come continuare
la disequazione logaritma
non riesco proprio a
risolverla ...
grazie...

[bimbozza]

non capisco dove sia il problema...spiegati meglio o posta come hai provato a continuarla...

[insule23]

come scrivo 1 in logaritmo in base pi greco/6

[bimbozza]

[math]a=log_b c[/math]

--->

[math]c=b^a[/math]

tu hai a=1 e vuoi scriverlo come logaritmo sapendo che

[math]b=\pi/6[/math]

. Non ti resta che calcolarti c come scritto sopra e "inserirlo" come argomento del logaritmo.

[insule23]

ok.. ho provato a risolvere la disequazione:
Essendo 0 < π/6 < 1

|arcsin (2x^2-x)/2|

[bimbozza]

nel tuo sistema la prima disequazione è ridondante (compare già nel sistema che ti ho scritto precedentemente) quindi basta che svolgi la seconda disuguaglianza. Per il resto, ok! ^.^

[insule23]

ok... quindi :
-1/2

[bimbozza]

giusto

[insule23]

ok.. quindi mi potresti dire in conclusione qual'è l'insieme di definizione...

[bimbozza]

questo dovresti dirmelo te...basta trovare l'intersezione tra le varie soluzioni trovate. Ormai le hai tutte, non dovresti aver problemi

[insule23]

Riassumendo il dominio dovrebbe essere:

[math]x\epsilon R:[/math]

[math]-\frac{1}{2}\leq x< 0[/math]

[math]\vee 0< x< \frac{1}{2}[/math]

[math]\vee\frac{1}{2}< x\leq 1[/math]

è corretto???fammi sapere se è giusto...

[bimbozza]

corretto

[insule23]

ok grazie...