Informatica e circonferenza
Mi propongo di calcolare il segmento $l$, di lunghezza minima che è il più piccolo sottomultiplo di $\pi$ e procedo cosi':
Prendo due punti $P_1(x,f(x))$ e $P_2(x-h,f(x-h))$ sulla circonferenza di funzione $f(x) = sqrt(1-x^2)$, cioè con raggio unitario, con ${x_{P_1}=x}$ > $x_{P_2}$:
Allora il segmento $l$ misura:
$l = \sqrt(sqrt(1-(x-h)^2) - sqrt(1 - x^2) + h^2)$
dove con $h$ indico l'incremento dell'ascissa $x_{P_2}$ del punto $P_2$.
Svolgendo i calcoli e ponendo il valore dell' incremento $h=0$ trovo:
$l = 2-2x^2-2sqrt(1-2x^2+x^4)$
Il valore di $l$ dovrebbe risultare pure zero se si sostituisce forzatamente $x=sqrt(2)/2$, e dai calcoli matematici avviene proprio questo, se non ho sbagliato; tuttavia dai calcoli informatici si ottiene un valore molto piccolo di $l$ che non è zero.
Io pensavo di far tendere $x$ a $sqrt(2)/2$ da sinistra, e $h$ a $0$ da destra al finie di calcolare come limite approssimato $l$.
Grazie per le eventuali risposte.
Prendo due punti $P_1(x,f(x))$ e $P_2(x-h,f(x-h))$ sulla circonferenza di funzione $f(x) = sqrt(1-x^2)$, cioè con raggio unitario, con ${x_{P_1}=x}$ > $x_{P_2}$:
Allora il segmento $l$ misura:
$l = \sqrt(sqrt(1-(x-h)^2) - sqrt(1 - x^2) + h^2)$
dove con $h$ indico l'incremento dell'ascissa $x_{P_2}$ del punto $P_2$.
Svolgendo i calcoli e ponendo il valore dell' incremento $h=0$ trovo:
$l = 2-2x^2-2sqrt(1-2x^2+x^4)$
Il valore di $l$ dovrebbe risultare pure zero se si sostituisce forzatamente $x=sqrt(2)/2$, e dai calcoli matematici avviene proprio questo, se non ho sbagliato; tuttavia dai calcoli informatici si ottiene un valore molto piccolo di $l$ che non è zero.
Io pensavo di far tendere $x$ a $sqrt(2)/2$ da sinistra, e $h$ a $0$ da destra al finie di calcolare come limite approssimato $l$.
public static void main(String[] args) {
double x; double h;
x = Math.sqrt(2)/2;
h = 0;
double l;
l = 2 - 2*Math.pow(x,2)-2*Math.sqrt(1-2*Math.pow(x,2)+Math.pow(x,4));
System.out.println(l);
}
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
"curie88":
Mi propongo di calcolare il segmento $l$, di lunghezza minima che è il più piccolo sottomultiplo di $\pi$
Che significa?
Ciao @axpgn:
Intesa come del più piccolo sottomultiplo del valore di $\pi$, che moltiplicato per un altro numero necessariamente intero darebbe $\pi$
Dato che approssimo la corda/segmento congiungente due punti molto prossimi sull' arco della circonferenza al più piccolo arco di circonferenza...
Intesa come
Dato che approssimo la corda/segmento congiungente due punti molto prossimi sull' arco della circonferenza al più piccolo arco di circonferenza...
Perché pensi che esista "il più piccolo" sottomultiplo di $pi$ ?
Sono domande come questa che dovresti farti prima di iniziare qualsiasi "lavoro" ...
Sono domande come questa che dovresti farti prima di iniziare qualsiasi "lavoro" ...
Ciao, hai ragione.
Ti posso spiegare il mio punto di vista.
Se non è corretto ben venga una più mirata osservazione.
Se si divide $\pi$ per un numero molto grande intero io mi aspetto di trovare un valore dell` arco, che è quindi un sotto-arco in cui va quasi esattamente a corrispondere il segmentino/corda ottenuto dalla congiunzione di due punti strettamente vicini, che a sua volta approssima l'arco e dunque corrisponde circa al $\pi /N$, dove $N$ è quel numero intero in cui abbiamo diviso la semicirconferenza $\pi$.
In verità dunque non è tanto il più piccolo sottomultiplo, ma lo è in quanto approssimazione coincidente con la corda.
Ti posso spiegare il mio punto di vista.
Se non è corretto ben venga una più mirata osservazione.
Se si divide $\pi$ per un numero molto grande intero io mi aspetto di trovare un valore dell` arco, che è quindi un sotto-arco in cui va quasi esattamente a corrispondere il segmentino/corda ottenuto dalla congiunzione di due punti strettamente vicini, che a sua volta approssima l'arco e dunque corrisponde circa al $\pi /N$, dove $N$ è quel numero intero in cui abbiamo diviso la semicirconferenza $\pi$.
In verità dunque non è tanto il più piccolo sottomultiplo, ma lo è in quanto approssimazione coincidente con la corda.
No, per lo stesso motivo.
Non esiste corda pari all'arco che sottende.
La domanda corretta che devi porti è questa:
Fissato a priori un numero intero $c$, per quale intero $N$ devo dividere $pi$ in modo da ottenere un arco che corrisponda alla corda sottesa almeno per un numero di cifre pari a $c$ ?
Devi chiarirti per bene il problema a cui stai pensando prima di metterti a lavorarci sopra …
Non esiste corda pari all'arco che sottende.
La domanda corretta che devi porti è questa:
Fissato a priori un numero intero $c$, per quale intero $N$ devo dividere $pi$ in modo da ottenere un arco che corrisponda alla corda sottesa almeno per un numero di cifre pari a $c$ ?
Devi chiarirti per bene il problema a cui stai pensando prima di metterti a lavorarci sopra …
Ma io non dico assolutamente che la corda $c$ debba essere di misura intera.
Inoltre non ho mai detto che se divido $\pi$ per $N$ ottengo esattamente $c$, ma ci posso andare molto vicino, tanto più, fino ad un certo limite, quando $c$ è piccolo, e tanto più quando $N$ è grande fino ad un altro limite.
Inoltre se conosci, come credo, la storia del calcolo del pigreco di Archimede dovresti ricordarti che la circonferenza era da lui vista come il valore comune ai poligoni inscritti e circoscritti di molti(approssimando ad un numero sempre maggiore) lati a partire dagli esagoni(se ben ricordo) eseguendo ricorsivamente il raddoppio dei lati.
Fu poi Nicolò Pisano ad estendere lievemente il concetto, asserendo che la circonferenza è un poligono di infiniti lati infinitesimi; ed è proprio sulla base di questi concetti che ricerco il valore del lato infinitesimo, che se fosse banalmente zero, lo sarebbe pure la lunghezza della circonferenza. Saluti.
Inoltre non ho mai detto che se divido $\pi$ per $N$ ottengo esattamente $c$, ma ci posso andare molto vicino, tanto più, fino ad un certo limite, quando $c$ è piccolo, e tanto più quando $N$ è grande fino ad un altro limite.
Inoltre se conosci, come credo, la storia del calcolo del pigreco di Archimede dovresti ricordarti che la circonferenza era da lui vista come il valore comune ai poligoni inscritti e circoscritti di molti(approssimando ad un numero sempre maggiore) lati a partire dagli esagoni(se ben ricordo) eseguendo ricorsivamente il raddoppio dei lati.
Fu poi Nicolò Pisano ad estendere lievemente il concetto, asserendo che la circonferenza è un poligono di infiniti lati infinitesimi; ed è proprio sulla base di questi concetti che ricerco il valore del lato infinitesimo, che se fosse banalmente zero, lo sarebbe pure la lunghezza della circonferenza. Saluti.
Ci rinuncio, è inutile …
Almeno convincimi che un segmento inteso come lato di un poligono oppure anche come corda sottesa ad un arco se moltiplicata per un numero appropriato non potrà mai avvicinarsi al pigreco, questa è la tua tesi, o erro?
No, non è la mia tesi … anzi puoi "avvicinarti" quanto vuoi …
"curie88":
Mi propongo di calcolare il segmento $l$, di lunghezza minima che è il più piccolo sottomultiplo di $\pi$ .
Scusatemi ma "il più piccolo sottomultiplo" di un numero trascendente è una affermazione che non si può proprio sentire.
[xdom="gugo82"]Vista l'inutilità della presente discussione (in cui OP parte, per l'ennesima volta, da presupposti errati) e visto che OP non riesce a cogliere le sempre più numerose esortazioni dei membri della community a migliorare il proprio formalismo, chiudo.[/xdom]
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