Infinito su zero
Salve!
Mi hanno assegnato un esercizio di differenziale che non so approcciare.
Devo verificare che:
x0 [tex]\epsilon \Re estesa[/tex]
$ lim_(x -> x0) f(x)/(g^2(x))= oo $
Così non posso risolverla, perché è infinito/0 e non so come gestire la cosa. Qualcuno può illuminarmi?
Mi hanno assegnato un esercizio di differenziale che non so approcciare.
Devo verificare che:
x0 [tex]\epsilon \Re estesa[/tex]
$ lim_(x -> x0) f(x)/(g^2(x))= oo $
Così non posso risolverla, perché è infinito/0 e non so come gestire la cosa. Qualcuno può illuminarmi?
Risposte
Non credo proprio che si possa rispondere senza sapere quali sono le funzioni $f(x),g(x)$; uso questa forma dubitativa perché non mi è chiaro il significato di
x0 \( \epsilon \Re estesa \)
Forse volevi dire che $x_0$ appartiene all'insieme dei reali esteso, considerando cioè anche gli infiniti?
Comunque questa non è la sezione adatta e quindi provvisoriamente
[xdom="giammaria"]sposto in Secondaria.[/xdom]
x0 \( \epsilon \Re estesa \)
Forse volevi dire che $x_0$ appartiene all'insieme dei reali esteso, considerando cioè anche gli infiniti?
Comunque questa non è la sezione adatta e quindi provvisoriamente
[xdom="giammaria"]sposto in Secondaria.[/xdom]
In realtà questo è un esercizio universitario, non della scuola secondaria. Non mi pare proprio sia la giusta locazione questa...
Comunque è un esercizio delle dispense del corso di calcolo differenziale di quest'anno del corso di laurea di Informatica a La Sapienza ed è proprio così come l'ho presentato, senza f e g definite, ma definendo solo il loro limite per x->x0.
Comunque è un esercizio delle dispense del corso di calcolo differenziale di quest'anno del corso di laurea di Informatica a La Sapienza ed è proprio così come l'ho presentato, senza f e g definite, ma definendo solo il loro limite per x->x0.
Ah e sì, R estesa è l'insieme dei reali compresi gli infiniti
$f$ e $g$ sai almeno a cosa tendono? $f$ a $+\infty$ e $g$ a zero? In tal caso, puoi dire ovviamente qualcosa a priori.
sì, pensavo fosse implicito, scusa! f e g per x->x0 tendono rispettivamente a +inf e 0
Sapendo finalmente le condizioni del problema, è possibile risolverlo usando il teorema del reciproco e quello del prodotto:
se $lim_(x->x_0) g(x)=0$ allora $lim_(x->x_0) 1/(g(x))=oo$ (teorema del limite del reciproco) e
se $lim_(x->x_0) 1/(g(x))=oo$ allora $lim_(x->x_0) 1/(g^2(x))= +oo$ (teorema del limite del prodotto)
Infine se $lim_(x->x_0) f(x)=+oo$ allora
$lim_(x->x_0) f(x)/(g^2(x))=lim_(x->x_0) f(x)*lim_(x->x_0) 1/(g^2(x))=+oo*(+oo)=+oo$ (teorema del limite del prodotto).
se $lim_(x->x_0) g(x)=0$ allora $lim_(x->x_0) 1/(g(x))=oo$ (teorema del limite del reciproco) e
se $lim_(x->x_0) 1/(g(x))=oo$ allora $lim_(x->x_0) 1/(g^2(x))= +oo$ (teorema del limite del prodotto)
Infine se $lim_(x->x_0) f(x)=+oo$ allora
$lim_(x->x_0) f(x)/(g^2(x))=lim_(x->x_0) f(x)*lim_(x->x_0) 1/(g^2(x))=+oo*(+oo)=+oo$ (teorema del limite del prodotto).
Grazie @melia 
Faccio una piccola aggiunta: non so come mai ma molti credono che $0/oo$ e $oo/0$ siano forme indeterminate, quando non è vero! Se mai sono indeterminate $0/0$ e $oo/oo$. Per ricordarmelo ho sempre usato questo ragionamento:
* uno $0$ al numeratore "tira" la frazione verso $0$
* un $oo$ al numeratore "tira" la frazione verso $oo$
* uno $0$ al denominatore "tira" la frazione verso $oo$
* un $oo$ al denominatore "tira" la frazione verso $0$
Ora per capire se una forma sia indeterminata oppure no basta vedere se numeratore e denominatore "tirano" nella stessa direzione oppure no. Prendiamo $0/oo$: per il ragionamento di prima si vede che entrambi "puntano" verso lo $0$ quindi non è una forma indeterminata. Consideriamo invece $oo/oo$: l'infinito di sopra porterebbe verso $oo$ mentre quello di sotto porterebbe verso $0$. Ecco una forma indeterminata.
Mi rendo conto che manchi molto formalismo a tutto questo ma forse a volte è necessario abbandonare un po' di rigidità per far comprendere e ricordare le cose.
* uno $0$ al numeratore "tira" la frazione verso $0$
* un $oo$ al numeratore "tira" la frazione verso $oo$
* uno $0$ al denominatore "tira" la frazione verso $oo$
* un $oo$ al denominatore "tira" la frazione verso $0$
Ora per capire se una forma sia indeterminata oppure no basta vedere se numeratore e denominatore "tirano" nella stessa direzione oppure no. Prendiamo $0/oo$: per il ragionamento di prima si vede che entrambi "puntano" verso lo $0$ quindi non è una forma indeterminata. Consideriamo invece $oo/oo$: l'infinito di sopra porterebbe verso $oo$ mentre quello di sotto porterebbe verso $0$. Ecco una forma indeterminata.
Mi rendo conto che manchi molto formalismo a tutto questo ma forse a volte è necessario abbandonare un po' di rigidità per far comprendere e ricordare le cose.
Grazie minomic! La tua precisazione è stata utilissima
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