Infinitesimi e loro confronto.
Buongiorno ragazzi, vi chiedo una precisazione. 
I testi che sto consultando mi spiegano che si usa definire un infinitesimo una funzione che tende ad x(c) ed il suo limite è 0.
Poi, mi spiegano che nel confronto tra più infinitesimi, come si verifica nel caso di una forma indeterminata 0/0 si può aiutarsi con gli ordini di infinitesimo.
In particolare, leggo che una funzione esponenziale "arriva a 0" più rapidamente di una funzione potenza, indipentemente dalla base o dall'esponente della funzione esponenziale.
Intuitivamente e nella pratica riconosco che è vero ma, qual'è la teoria dietro? Cioè, come si spiega o si giustifica che la funzione esponenziale arriva a 0 più rapidamente?
Mi sembra un concetto semplice, ma non ne esco.
I testi che sto consultando mi spiegano che si usa definire un infinitesimo una funzione che tende ad x(c) ed il suo limite è 0.
Poi, mi spiegano che nel confronto tra più infinitesimi, come si verifica nel caso di una forma indeterminata 0/0 si può aiutarsi con gli ordini di infinitesimo.
In particolare, leggo che una funzione esponenziale "arriva a 0" più rapidamente di una funzione potenza, indipentemente dalla base o dall'esponente della funzione esponenziale.
Intuitivamente e nella pratica riconosco che è vero ma, qual'è la teoria dietro? Cioè, come si spiega o si giustifica che la funzione esponenziale arriva a 0 più rapidamente?
Mi sembra un concetto semplice, ma non ne esco.
Risposte
"Dlofud":
In particolare, leggo che una funzione esponenziale "arriva a 0" più rapidamente di una funzione potenza, indipendentemente dalla base o dall'esponente della funzione esponenziale.
Puoi fare un esempio?
$x(c)$ cosa vuol dire?
"ghira":
[quote="Dlofud"]
In particolare, leggo che una funzione esponenziale "arriva a 0" più rapidamente di una funzione potenza, indipendentemente dalla base o dall'esponente della funzione esponenziale.
Puoi fare un esempio?
$x(c)$ cosa vuol dire?[/quote]
Certo, grazie intanto! Questo è l'esempio che mi ha incuriosito:
limite con x->1- di $e^(1/(x^(2)-1))/(x^2-1)^2$
Il testo spiega che sia il numeratore che il denomitare vanno a 0 e generano così la forma indeterminata 0/0.
Poi suggerisce che il numeratore sia un infinitesimo di ordine superiore, poiché in quanto funzione esponenziale arriva a 0 più velocemente della funzione potenza al denominatore.
Spiega che visto che l'infinitesimo di ordine superiore è al numeratore, si può dire che il limite complessivo va a 0, senza svolgere ulteriori calcoli.
Ed io mi sto chiedendo in base a cosa sia possibile dire che quell'esponenziale effettivamente si avvicini a 0 prima di qualsiasi funzione del tipo $y=x^n$.
(Io ho scritto $x(c)$ per intendere una x qualsiasi, perché la definizione che ho trovato chiama infinitesimi sia funzioni che tendono a valori finiti sia funzioni che tendono ad infinito, fintanto che il risultato del limite è 0.)
"Dlofud":
Ed io mi sto chiedendo in base a cosa sia possibile dire che quell'esponenziale effettivamente si avvicini a 0 prima di qualsiasi funzione del tipo $y=x^n$.
Che mi dici di $\lim_{x\rarr\infty}\frac{e^x}{x^n}$? $n$ è un intero positivo.
Non mi pare che $e^x$ sia infinitesimo per $x$ che tende all'infinito o mi sfugge qualcosa? 
"axpgn":
Non mi pare che $e^x$ sia infinitesimo per $x$ che tende all'infinito o mi sfugge qualcosa?
Non ho colto quello che ghira vuole evidenziare.
Anche a me sembra che $e^x$ con x che tende all'infinito dia come risultato infinito invece di 0.@ghira: il tuo esempio mi sembra un caso di forma indeterminata infinito su infinito, è quello che avevi in mente anche tu?
"axpgn":
Non mi pare che $e^x$ sia infinitesimo per $x$ che tende all'infinito o mi sfugge qualcosa?
No. Mi sembrava un esempio più semplice, tutto qui.
"Dlofud":
[quote="axpgn"]Non mi pare che $e^x$ sia infinitesimo per $x$ che tende all'infinito o mi sfugge qualcosa?
Non ho colto quello che ghira vuole evidenziare.
Anche a me sembra che $e^x$ con x che tende all'infinito dia come risultato infinito invece di 0.@ghira: il tuo esempio mi sembra un caso di forma indeterminata infinito su infinito, è quello che avevi in mente anche tu?[/quote]
Sì. L'esponenziale che fa qualcosa più velocemente ecc. ecc.
Se preferisci, puoi fare $\frac{e^{-x}}{x^{-n}}$.
"ghira":
No. Mi sembrava un esempio più semplice, tutto qui.
Capisco ma didatticamente, a parer mio, gli complichi la vita, l'ultimo esempio che hai fatto è più centrato.
IMHO
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="ghira"]No. Mi sembrava un esempio più semplice, tutto qui.
Capisco ma didatticamente, a parer mio, gli complichi la vita, l'ultimo esempio che hai fatto è più centrato.
IMHO
[/quote]
Non capivo "una funzione esponenziale "arriva a 0" più rapidamente di una funzione potenza, indipentemente dalla base o dall'esponente della funzione esponenziale" nel messaggio originale.
"ghira":
[quote="Dlofud"][quote="axpgn"]Non mi pare che $e^x$ sia infinitesimo per $x$ che tende all'infinito o mi sfugge qualcosa?
Non ho colto quello che ghira vuole evidenziare.
Anche a me sembra che $e^x$ con x che tende all'infinito dia come risultato infinito invece di 0.@ghira: il tuo esempio mi sembra un caso di forma indeterminata infinito su infinito, è quello che avevi in mente anche tu?[/quote]
Sì. L'esponenziale che fa qualcosa più velocemente ecc. ecc.
Se preferisci, puoi fare $\frac{e^{-x}}{x^{-n}}$.[/quote]
Mmh, vero, questa è una forma indeterminata 0 su 0 più semplice da capire.
Anche qui, credo di perdere parte del concetto: l'esponenziale al numeratore si avvicina più velocemente a 0 del denominatore ma come posso dimostrarlo?
Non so se mi spiego: non potrebbe essere che alcune esponenziali con esponenti, per esempio, frazionari, possano comportarsi più lentamente di una potenza?
"Dlofud":
Non so se mi spiego: non potrebbe essere che alcune esponenziali con esponenti, per esempio, frazionari, possano comportarsi più lentamente di una potenza?
Per esempio? $e^{-\frac{x}{1000}}$?
"Dlofud":Conosci la regola di de l'Hôpital? Prova ad applicarla $n$ volte.
Intuitivamente e nella pratica riconosco che è vero ma, qual'è la teoria dietro? Cioè, come si spiega o si giustifica che la funzione esponenziale arriva a 0 più rapidamente?
"Dlofud":
Anche qui, credo di perdere parte del concetto: l'esponenziale al numeratore si avvicina più velocemente a 0 del denominatore ma come posso dimostrarlo?
Consideriamo $\frac{a^-x}{x^-n}$ dove $a$ è un numero reale maggiore di 1, e $n$ è un intero positivo. O anche un numero reale positivo. Diciamo che $x>0$.
Partiamo con un qualche valore specifico di $x$. Aumentiamolo. Cosa succede a $\frac{a^-x}{x^-n}$? Se $x$ è abbastanza grande, cosa succede a $\frac{a^-x}{x^-n}$?
"Martino":Conosci la regola di de l'Hôpital? Prova ad applicarla $n$ volte.[/quote]
[quote="Dlofud"]Intuitivamente e nella pratica riconosco che è vero ma, qual'è la teoria dietro? Cioè, come si spiega o si giustifica che la funzione esponenziale arriva a 0 più rapidamente?
Prima di leggere del confronto tra ordini di infinitesimo, e quindi chiedere qui a voi
, avevo provato proprio con la regola di de l'Hôpital, ma la derivata della funzione esponenziale al numeratore si riproduce sempre uguale e così la forma indeterminata 0/0 si ripresenta sempre. Non sono riuscito a sbloccare il limite con questa regola (forse ho fatto qualche errore, sono aperto ad ogni correzione!).
"ghira":
[quote="Dlofud"]
Anche qui, credo di perdere parte del concetto: l'esponenziale al numeratore si avvicina più velocemente a 0 del denominatore ma come posso dimostrarlo?
Consideriamo $\frac{a^-x}{x^-n}$ dove $a$ è un numero reale maggiore di 1, e $n$ è un intero positivo. O anche un numero reale positivo. Diciamo che $x>0$.
Partiamo con un qualche valore specifico di $x$. Aumentiamolo. Cosa succede a $\frac{a^-x}{x^-n}$? Se $x$ è abbastanza grande, cosa succede a $\frac{a^-x}{x^-n}$?[/quote]
Allora, ho provato a seguire questo tuo esempio, ghira.
Effettivamente, provando di volta in volta nuovi valori di $x$ più grandi, sia il numeratore che il denominatore si avvicinano a 0, ma l'esponenziale lo fa con valori più piccoli, più vicini allo 0.
Quello che mi chiedo è, in particolare con funzioni più elaborate, come possiamo dimostrare che per ogni $x$ l'esponenziale è sempre più vicina allo 0?
Non sono sicuro di porre la domanda nel modo corretto: non è lecito immaginare possa esserci un teorema, una piccola dimostrazione od altro per la quale questo succeda?
"Dlofud":La derivata del numeratore sì ma quella del denominatore no. Per esempio se prendi $e^x/x^5$ e applichi de l'Hôpital 5 volte (prova!) ottieni $e^x/120$ che tende a $+oo$. Riesci a generalizzare?
la derivata della funzione esponenziale al numeratore si riproduce sempre uguale
Poi prova con $e^(-x)/x^(-5)$ anche.
"Dlofud":
Quello che mi chiedo è, in particolare con funzioni più elaborate, come possiamo dimostrare che per ogni $x$ l'esponenziale è sempre più vicina allo 0?
Prendiamo il nostro esempio e usiamo la forza bruta:
Aumentiamo $x$ di $c$. Il numeratore per cosa viene moltiplicato? Il denominatore per cosa viene moltiplicato?
La frazione complessiva per cosa viene moltiplicata? Da un certo valore di $x$ in poi, questo numero è sempre minore di 1?
Allora, vi chiedo un'altra cosa ragazzi, ho capito che prima di provar ad utilizzare questi ordini di infinitesimo, devo capire come risolvere quell'esempio senza farne uso.
Quali tecniche risolutive potrei usare? Ho provato con raccoglimenti e limiti notevoli, ma non riesco ad arrivarci.
Per praticità, riposto il limite qui:
limite con x->1- di $e^(1/(x^(2)-1))/(x^2-1)^2$
Quali tecniche risolutive potrei usare? Ho provato con raccoglimenti e limiti notevoli, ma non riesco ad arrivarci.
Per praticità, riposto il limite qui:
limite con x->1- di $e^(1/(x^(2)-1))/(x^2-1)^2$
$lim_(x->1^-) e^(1/(x^(2)-1))/(x^2-1)^2 $ è una forma indeterminata $0/0$ o, se preferisci scriverla così
$lim_(x->1^-) e^(1/(x^(2)-1))*1/(x^2-1)^2 $ è una forma indeterminata $0*(+oo)$
posto $1/(x^2-1) = f$ con $x->1^-$ ottieni che $f-> -oo$, con la sostituzione il limite diventa
$lim_(f-> -oo) f^2/e^(-f)$, adesso basta applicare 2 volte l'Hopital e hai finito. Nota che facendo diventare il limite una forma $(oo)/(oo)$ la soluzione è più semplice, meno conti, e lavori con l'ordine di $oo$ che è di comprensione più immediata rispetto a quello dell'infinitesimo.
$lim_(x->1^-) e^(1/(x^(2)-1))*1/(x^2-1)^2 $ è una forma indeterminata $0*(+oo)$
posto $1/(x^2-1) = f$ con $x->1^-$ ottieni che $f-> -oo$, con la sostituzione il limite diventa
$lim_(f-> -oo) f^2/e^(-f)$, adesso basta applicare 2 volte l'Hopital e hai finito. Nota che facendo diventare il limite una forma $(oo)/(oo)$ la soluzione è più semplice, meno conti, e lavori con l'ordine di $oo$ che è di comprensione più immediata rispetto a quello dell'infinitesimo.
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