Individuare punto discontinuità funzione..chiarimenti
Ragazzi non riesco a capire questo esercizio.. (non ho fatto le derivate).. ho una funzione
$ f(x)=(x+1)/ | x + 1 | +2/x $
Ho fatto il campo d'esistenza con x diverso da zero e x diverso da -1.. ma poi?
$ f(x)=(x+1)/ | x + 1 | +2/x $
Ho fatto il campo d'esistenza con x diverso da zero e x diverso da -1.. ma poi?
Risposte
"luca_s":
Ho fatto il campo d'esistenza con x diverso da zero e x diverso da -1.. ma poi?
Poi vai con ordine e vedi cosa accade a quel modulo: in entrambi i casi si semplifica un sacco di robetta (alla fine le derivate neanche servono per studiare questa funzione).
Non è che puoi spiegarmi passo passo? 
Se $x< -1$ allora $|x+1|=-x-1$ e la funzione diventa $f(x)=(x+1)/(-x-1) + 2/x$ cioè $f(x)= 2/x -1$ e $lim_(x->-1^-) 2/x -1= -3$
Se $x> -1$ allora $|x+1|=x+1$ e la funzione diventa $f(x)=(x+1)/(x+1) + 2/x$ cioè $f(x)= 2/x +1$ e $lim_(x->-1^+) 2/x+1= -1$.
Quindi in $-1$ la funzione non ammette limite, ma ammette limite destro e sinistro entrambi finiti, si tratta di una discontinuità con "salto".
In $0$ la funzione, che sarà $f(x)= 2/x +1$ perché $0 > -1$, ammette limite, infatti $lim_(x->0) 2/x+1= oo$, in particolare $lim_(x->0^-) 2/x+1= - oo$ e $lim_(x->0^+) 2/x+1= +oo$, in questo caso la discontinuità sarà asintotica e la retta $x=0$ è un asintoto verticale.
Se $x> -1$ allora $|x+1|=x+1$ e la funzione diventa $f(x)=(x+1)/(x+1) + 2/x$ cioè $f(x)= 2/x +1$ e $lim_(x->-1^+) 2/x+1= -1$.
Quindi in $-1$ la funzione non ammette limite, ma ammette limite destro e sinistro entrambi finiti, si tratta di una discontinuità con "salto".
In $0$ la funzione, che sarà $f(x)= 2/x +1$ perché $0 > -1$, ammette limite, infatti $lim_(x->0) 2/x+1= oo$, in particolare $lim_(x->0^-) 2/x+1= - oo$ e $lim_(x->0^+) 2/x+1= +oo$, in questo caso la discontinuità sarà asintotica e la retta $x=0$ è un asintoto verticale.
"@melia":
In $0$ la funzione, che sarà $f(x)= 2/x +1$ perché $0 > -1$, ammette limite [...]
Non so se luca_s ha già visto i limiti: se non ricordo male sono l'argomento immediatamente precedente alle derivate.
Il mio ragionamento era differente
- per $x> -1$ la funzione è $f(x)=1+2/x$ che è un'iperbole equilatera traslata, facilmente disegnabile anche senza derivate (se non erro ellissi/iperboli/circonferenze si fanno prima di limiti/derivate/integrali).
- per $x< -1$ e $x \ne 0$ è una funzione uguale alla precedente come tipologia, ma traslata in modo differente $f(x)=-1+2/x$.
In entrambi i casi sono grafici facilmente derivabili dall'iperbole equilatera senza uso di limiti e/o derivate.
Io in quinta li sto facendo adesso e così quasi tutti i miei colleghi. Per parlare di punti di discontinuità deve essere nel capitolo dei limiti.
"@melia":
Io in quinta li sto facendo adesso e così quasi tutti i miei colleghi. Per parlare di punti di discontinuità deve essere nel capitolo dei limiti.
Hai ragione... le discontinuità! Non so perché pensavo che dovesse solo disegnare la funzione!
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