Incertezza sullo studio di funzioni
Salve a tutti, è una volta su 1000 che chiedo aiuto in questo forum quindi spero non ci siano problemi.
Sto facendo studi di funzioni, in particolare su Y = X^2 per e^x
Ora sto calcolando i limiti agli estremi del Dominio (che, essendo tutto R, sono più infinito e meno infinito):
Ho provato quindi a calcolare il limite della funzione per X--> meno infinito, ma risulta una forma indeterminata del tipo Infinito diviso infinito.
Così provo ad applicare De L'Hopital riscrivendo la funzione in modo diverso, cioè trasformandola da X^2 per e^x a X^2/e^-x e provo a calcolare il limite del rapporto tra le derivate, ma esso mi risulta ancora una forma indeterminata, cosa posso fare per calcolare il limite?
Sto facendo studi di funzioni, in particolare su Y = X^2 per e^x
Ora sto calcolando i limiti agli estremi del Dominio (che, essendo tutto R, sono più infinito e meno infinito):
Ho provato quindi a calcolare il limite della funzione per X--> meno infinito, ma risulta una forma indeterminata del tipo Infinito diviso infinito.
Così provo ad applicare De L'Hopital riscrivendo la funzione in modo diverso, cioè trasformandola da X^2 per e^x a X^2/e^-x e provo a calcolare il limite del rapporto tra le derivate, ma esso mi risulta ancora una forma indeterminata, cosa posso fare per calcolare il limite?
Risposte
Applica De L'Hopital una seconda volta ...
@ Trashmob. Che tu ogni tanto chieda aiuto va bene e spero che la risposta che hai avuto risolva la tua difficoltà. Ti avviso però che hai già 28 messaggi ed il regolamento dice:
3.6b E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella community, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.
3.6b E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella community, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.
"giammaria":
@ Trashmob. Che tu ogni tanto chieda aiuto va bene e spero che la risposta che hai avuto risolva la tua difficoltà. Ti avviso però che hai già 28 messaggi ed il regolamento dice:
3.6b E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella community, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.
Va bene, imparerò ad usare le formule allora mi dispiace per l'accaduto.
Ma qualcuno potrebbe dirmi solo come fare quel limite? Saran 2 o 3 passaggi non sto chiedendo nulla di che, ho provato con de l'Hopital ma mi sono bloccato lo stesso... il limite per x tendente a più infinito lo farò da solo
Ma hai letto la mia risposta?
sì che ho letto, ma non so come si applica una seconda volta
Come la prima, su quello che hai ottenuto, sempreché ne sussistano le condizioni (ed in questo caso sussistono: è ancora una forma indeterminata $infty/infty$ e le funzioni ottenute sono derivabili)
"axpgn":
Come la prima, su quello che hai ottenuto, sempreché ne sussistano le condizioni (ed in questo caso sussistono: è ancora una forma indeterminata $infty/infty$ e le funzioni ottenute sono derivabili)
Ok ho capito come fare solo ora, bisognava usare le derivate seconde e non le prime...
"Trashmob":
Ok ho capito come fare solo ora, bisognava usare le derivate seconde e non le prime...
Non è propriamente così ... nel senso che derivi una prima volta sopra e sotto separatamente, RICALCOLI il limite; se necessario ove ricorrano le condizioni, derivi un'altra volta sopra e sotto e RICALCOLI il limite. Se necessario e se ci sono le condizioni, derivi una terza volta ... e così via ...
"axpgn":
[quote="Trashmob"]Ok ho capito come fare solo ora, bisognava usare le derivate seconde e non le prime...
Non è propriamente così ... nel senso che derivi una prima volta sopra e sotto separatamente, RICALCOLI il limite; se necessario ove ricorrano le condizioni, derivi un'altra volta sopra e sotto e RICALCOLI il limite. Se necessario e se ci sono le condizioni, derivi una terza volta ... e così via ...[/quote]
sisi tranquillo ho capito tranquillo
Scusate se chiedo ancora aiuto, ma e' urgentissimo perche' ho un compito domani, e con i calcoli faccio un po' pena! in compenso ho imparato ad usare le formule, quindi perdonatemi:
1) come si risolve $x^3-2=0$ ? so che bisogna scomporre con ruffini trovando prima i divisori del termine noto, il problema e' che non trovo i divisori di -2
2) come risolvo l'equazione $(x^2 -1)^2= 0 $ ? devo dividere entrambi i membri per $(x^2 -1) $ in modo da semplificare l'equazione?
3) riguarda un altro studio di funzione: ho trovate la derivata prima e la derivata seconda, le quali sono rispettivamente $ e^x (2x+x^2) $ e $ e^x (x^2+4x+2) $ le quali ho ridotto alla forma piu' semplice possibile, ma come ne trovo le radici (come trovo le soluzioni dell'equazione associata), e come ne faccio lo studio del segno?
1) $x^3-2=0$ è un'equazione binomia di grado dispari, quindi ha una sola soluzione reale che si ricava isolando la $x$ e poi facendo la radice:
$x^3=2$
$x=root(3) (2)$
2) $(x^2 -1)^2= 0$ un quadrato si annulla solo quando si annulla la sua base, quindi $x^2 -1 = 0 $ che è una binomia di grado pari, si risolve come quelle di grado dispari, solo che davanti alla radice si mette $+-$
$x^2 =1 $
$x= +- sqrt1$
$x= +- 1$
3) $ e^x (2x+x^2) =0$ si tratta di un prodotto che vale $0$ solo se uno dei fattori è $0$, il primo non lo è mai quindi basta uguagliare a $0$ il secondo $2x+x^2 =0$, questa è un'equazione di secondo grado spuria, puoi risolverla raccogliendo la $x$ e uguagliando a $0$ ciascuno dei fattori.
$ e^x (x^2+4x+2) =0$ come prima, il primo fattore non è mai nullo, quindi basta uguagliare a $0$ il secondo. $x^2+4x+2 =0$ che si risolve con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
$x^3=2$
$x=root(3) (2)$
2) $(x^2 -1)^2= 0$ un quadrato si annulla solo quando si annulla la sua base, quindi $x^2 -1 = 0 $ che è una binomia di grado pari, si risolve come quelle di grado dispari, solo che davanti alla radice si mette $+-$
$x^2 =1 $
$x= +- sqrt1$
$x= +- 1$
3) $ e^x (2x+x^2) =0$ si tratta di un prodotto che vale $0$ solo se uno dei fattori è $0$, il primo non lo è mai quindi basta uguagliare a $0$ il secondo $2x+x^2 =0$, questa è un'equazione di secondo grado spuria, puoi risolverla raccogliendo la $x$ e uguagliando a $0$ ciascuno dei fattori.
$ e^x (x^2+4x+2) =0$ come prima, il primo fattore non è mai nullo, quindi basta uguagliare a $0$ il secondo. $x^2+4x+2 =0$ che si risolve con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
"@melia":
1) $x^3-2=0$ è un'equazione binomia di grado dispari, quindi ha una sola soluzione reale che si ricava isolando la $x$ e poi facendo la radice:
$x^3=2$
$x=root(3) (2)$
2) $(x^2 -1)^2= 0$ un quadrato si annulla solo quando si annulla la sua base, quindi $x^2 -1 = 0 $ che è una binomia di grado pari, si risolve come quelle di grado dispari, solo che davanti alla radice si mette $+-$
$x^2 =1 $
$x= +- sqrt1$
$x= +- 1$
3) $ e^x (2x+x^2) =0$ si tratta di un prodotto che vale $0$ solo se uno dei fattori è $0$, il primo non lo è mai quindi basta uguagliare a $0$ il secondo $2x+x^2 =0$, questa è un'equazione di secondo grado spuria, puoi risolverla raccogliendo la $x$ e uguagliando a $0$ ciascuno dei fattori.
$ e^x (x^2+4x+2) =0$ come prima, il primo fattore non è mai nullo, quindi basta uguagliare a $0$ il secondo. $x^2+4x+2 =0$ che si risolve con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
grazie sei bravissimo, io so tutte queste cose che dici tu ma il problema e' che non mi vegono mai in mente... scusa la domanda ma come mai la terza soluzione della domanda 2 e' $x= +- 1$ a me non pare che la base $(x^2 -1)$ si annulli se metto x = -1
Ah e nello studio del segno di $ e^x (x^2+4x+2) =0$ cosa devo scrivere come polinomio da studiare? $ e^x (x^2+4x+2) =0$ per intero oppure mettere i 2 fattori separati? Io credo che cio' si faccia solo quando c'e' un quoziente ma non si sa mai
"Trashmob":
scusa la domanda ma come mai la terza soluzione della domanda 2 e' $x= +- 1$ a me non pare che la base $(x^2 -1)$ si annulli se metto x = -1
Sicuro? $(x^2-1)=((-1)^2-1)=(1-1)=0$
"Trashmob":
Ah e nello studio del segno di $ e^x (x^2+4x+2) =0$ cosa devo scrivere come polinomio da studiare? $ e^x (x^2+4x+2) =0$ per intero oppure mettere i 2 fattori separati? Io credo che cio' si faccia solo quando c'e' un quoziente ma non si sa mai
Lo studio del segno si fa anche con le moltiplicazioni (d'altra parte, nei razionali, la divisione non esiste ...
)Esattamente come per le frazioni il segno del prodotto dipende dai fattori (concordi $+$; discordi $-$), perciò di solito è più facile studiare i singoli fattori che il prodotto finale. In questo caso, peraltro, $e^x$ è sempre positivo, quindi studi solo l'altro ...
"axpgn":
[quote="Trashmob"]scusa la domanda ma come mai la terza soluzione della domanda 2 e' $x= +- 1$ a me non pare che la base $(x^2 -1)$ si annulli se metto x = -1
Sicuro? $(x^2-1)=((-1)^2-1)=(1-1)=0$
"Trashmob":
Ah e nello studio del segno di $ e^x (x^2+4x+2) =0$ cosa devo scrivere come polinomio da studiare? $ e^x (x^2+4x+2) =0$ per intero oppure mettere i 2 fattori separati? Io credo che cio' si faccia solo quando c'e' un quoziente ma non si sa mai
Lo studio del segno si fa anche con le moltiplicazioni (d'altra parte, nei razionali, la divisione non esiste ...
)Esattamente come per le frazioni il segno del prodotto dipende dai fattori (concordi $+$; discordi $-$), perciò di solito è più facile studiare i singoli fattori che il prodotto finale. In questo caso, peraltro, $e^x$ è sempre positivo, quindi studi solo l'altro ...[/quote]
Si hai ragione, quello che ho scritto prima e' stato un fail totale
Riguardo allo studio del segno, forse non ci siamo capiti bene (o non ho capito bene io la tua risposta), io intendo che nelle frazioni si mette prima il numeratore poi sotto il denominatore e sotto f(x) o derivata o quello che e'
Volevo sapere se bisogna studiare separatamente $e^x$ e l'altro fattore oppure se bisogna scriverli insieme nella stessa riga dato che e' una moltiplicazione, oppure non cambia nulla?
Non ho capito bene il tuo dubbio, comunque quando studi il segno di una funzione (che sia una primitiva, una derivata prima, seconda o quello che è non cambia niente) se è un prodotto (o un quoziente è lo stesso ...), di solito, è più conveniente studiare il segno dei singoli fattori (le singole funzioni che fanno da fattore), soprattutto se sono più di due.
Nel tuo caso $e^x(x^2+4x+2)$ i fattori sono due; quello a sinistra ($e^x$) è sempre positivo quindi basta studiare quello di destra ($x^2+4x+2$) per conoscere il segno del prodotto ...
Nel tuo caso $e^x(x^2+4x+2)$ i fattori sono due; quello a sinistra ($e^x$) è sempre positivo quindi basta studiare quello di destra ($x^2+4x+2$) per conoscere il segno del prodotto ...
"axpgn":
Non ho capito bene il tuo dubbio, comunque quando studi il segno di una funzione (che sia una primitiva, una derivata prima, seconda o quello che è non cambia niente) se è un prodotto (o un quoziente è lo stesso ...), di solito, è più conveniente studiare il segno dei singoli fattori (le singole funzioni che fanno da fattore), soprattutto se sono più di due.
Nel tuo caso $e^x(x^2+4x+2)$ i fattori sono due; quello a sinistra ($e^x$) è sempre positivo quindi basta studiare quello di destra ($x^2+4x+2$) per conoscere il segno del prodotto ...
Sisi grazie mille, ho capito
Qualcuno mi potrebbe spiegare cortesemente perché la derivata di $ (X^2-4)^2 $ è $ 4x(x^2-4)$ ? vorrei capire i passaggi, e se si considera prima la derivata della somma o della potenza
si può fare in più modi.
come ti è stato suggerito sembra che sia utilizzando la formula di derivazione delle funzioni composte [$z=x^2-4, y=z^2$]:
$D[(x^2-4)^2]=2*(x^2-4)^(2-1)*D[x^2-4]=2*(x^2-4)*2x=4x*(x^2-4)=4x^3-16x$
ho fatto l'ultima moltiplicazione per confrontare il risultato trovato con un altro metodo.
si può svolgere prima il calcolo algebrico (è un polinomio!) e poi applicare le regole di base per il calcolo delle derivate:
$D[(x^2-4)^2]=D[x^4-8x^2+16]=4x^3-16x$
come vedi, il risultato è lo stesso. ciao.
come ti è stato suggerito sembra che sia utilizzando la formula di derivazione delle funzioni composte [$z=x^2-4, y=z^2$]:
$D[(x^2-4)^2]=2*(x^2-4)^(2-1)*D[x^2-4]=2*(x^2-4)*2x=4x*(x^2-4)=4x^3-16x$
ho fatto l'ultima moltiplicazione per confrontare il risultato trovato con un altro metodo.
si può svolgere prima il calcolo algebrico (è un polinomio!) e poi applicare le regole di base per il calcolo delle derivate:
$D[(x^2-4)^2]=D[x^4-8x^2+16]=4x^3-16x$
come vedi, il risultato è lo stesso. ciao.
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