Immagine di una funzione razionale con parametro
Ho la seguente funzione razionale fratta con parametro:
$ f(x)= \frac{ax}{x^2+2x+a} $
L'esercizio mi chiede:
1) Per quali valori di a il dominio della funzione è R
2) per quali valori di a l'immagine della funzione è R
Per quanto riguarda il punto 1 ho impostato l'equazione:
$ x^2+2x+a=0 $
Poi ho scritto la formula risolutiva:
$ \frac{-2\pm \sqrt{4-4a}}{2} $
E infine ho posto il delta minore di zero e sono andato a risolvere la disequazione:
$ 4-4a<0 $
Che mi dà come risultato $ a>1 $
Per quanto riguarda il punto 2 però non ho idea di come procedere...
$ f(x)= \frac{ax}{x^2+2x+a} $
L'esercizio mi chiede:
1) Per quali valori di a il dominio della funzione è R
2) per quali valori di a l'immagine della funzione è R
Per quanto riguarda il punto 1 ho impostato l'equazione:
$ x^2+2x+a=0 $
Poi ho scritto la formula risolutiva:
$ \frac{-2\pm \sqrt{4-4a}}{2} $
E infine ho posto il delta minore di zero e sono andato a risolvere la disequazione:
$ 4-4a<0 $
Che mi dà come risultato $ a>1 $
Per quanto riguarda il punto 2 però non ho idea di come procedere...
Risposte
Suggerimento: visto che la funzione si azzera per x = 0, bisogna che il denominatore si azzeri per due valori di x, uno positivo e uno negativo (regola di Cartesio), così la funzione andrà da una parte a +infinito e dall'altra a meno infinito
I due valori della x che annullano il denominatore li ottengo dalla formula risolutiva:
$ x_{12}= frac{-2pm sqrt{4-4a}}{2} = frac{-2pm 2sqrt{1-a}}{2}=-1pm sqrt{1-a} $
A questo punto come devo procedere?
$ x_{12}= frac{-2pm sqrt{4-4a}}{2} = frac{-2pm 2sqrt{1-a}}{2}=-1pm sqrt{1-a} $
A questo punto come devo procedere?
I due valori della x che annullano il denominatore li ottengo dalla formula risolutiva:
$ x_{12}= \frac{-2\pm \sqrt{4-4a}}{2} = \frac{-2\pm 2\sqrt{1-a}}{2}=-1\pm \sqrt{1-a} $
A questo punto come devo procedere?
$ x_{12}= \frac{-2\pm \sqrt{4-4a}}{2} = \frac{-2\pm 2\sqrt{1-a}}{2}=-1\pm \sqrt{1-a} $
A questo punto come devo procedere?
Se $a < 0$ si ha $x_1$ positivo e $x_2$ negativo. (Regola di Cartesio: una permanenza e una variazione). In questo caso nell'intervallo $x_1 - x_2$ la funzione prende tutti i valori reali.
Ti dò un suggerimento, che però è incompleto.
Per avere l'immagine coincidente con R, la funzione deve andare a $+-infty$ per qualche valore di $x$, che non è $+-infty$ perchè in questo caso la funzione va a zero. Allora devono esserci dei valori finiti di x che producono asintoti verticali, cioè che azzerano il denominatore.
Hai già trovato la condizione perchè ciò avvenga, ossia $a < 1$.
Si hanno due asintoti verticali, corrispondenti alle radici del denominatore.
C'è però il problema che, se le radici hanno lo stesso segno, ci sono dei valori - finiti - che la funzione non prende. Invece, se una radice è positiva e una negativa, il ramo della funzione che passa per lo zero va da $-infty$ a $+infty$ senza lasciare buchi. Allora occorre che ci sia una radice positiva e una negativa, da cui - regola di Cartesio - deve essere $a < 0$.
Resta però da dimostrare il fatto che, per $0 < a < 1$ la funzione non prende alcuni valori, e qui non ho trovato ...
Per avere l'immagine coincidente con R, la funzione deve andare a $+-infty$ per qualche valore di $x$, che non è $+-infty$ perchè in questo caso la funzione va a zero. Allora devono esserci dei valori finiti di x che producono asintoti verticali, cioè che azzerano il denominatore.
Hai già trovato la condizione perchè ciò avvenga, ossia $a < 1$.
Si hanno due asintoti verticali, corrispondenti alle radici del denominatore.
C'è però il problema che, se le radici hanno lo stesso segno, ci sono dei valori - finiti - che la funzione non prende. Invece, se una radice è positiva e una negativa, il ramo della funzione che passa per lo zero va da $-infty$ a $+infty$ senza lasciare buchi. Allora occorre che ci sia una radice positiva e una negativa, da cui - regola di Cartesio - deve essere $a < 0$.
Resta però da dimostrare il fatto che, per $0 < a < 1$ la funzione non prende alcuni valori, e qui non ho trovato ...
Puoi anche provare al risolverlo seguendo una via più algebrica.
Prova a ricavare la funzione inversa e nel farlo imponi che condizioni che ti permettono di fare determinati passaggi.
Se parti da
\[
y=\dfrac{ax}{x^2+2x+a}
\]
e tenti di ricavare la $x$ avresti che, nel dominio,
\[
yx^2+(2y-a)x+ay=0
\]
dunque l'unica conduzione per cui puoi ricavare almeno un valore di $x$ in corrispondenza di $y$ fissato è
\[
\Delta\ge0
\]
cioè
\[
(2y-a)^2-4ay^2\ge0
\]
\[
4(1-a)y^2-8ay+a^2\ge0
\]
Quando questa disequazione ha come soluzione $\mathbb{R}$? per quali valori di $a$?
Prova a ricavare la funzione inversa e nel farlo imponi che condizioni che ti permettono di fare determinati passaggi.
Se parti da
\[
y=\dfrac{ax}{x^2+2x+a}
\]
e tenti di ricavare la $x$ avresti che, nel dominio,
\[
yx^2+(2y-a)x+ay=0
\]
dunque l'unica conduzione per cui puoi ricavare almeno un valore di $x$ in corrispondenza di $y$ fissato è
\[
\Delta\ge0
\]
cioè
\[
(2y-a)^2-4ay^2\ge0
\]
\[
4(1-a)y^2-8ay+a^2\ge0
\]
Quando questa disequazione ha come soluzione $\mathbb{R}$? per quali valori di $a$?
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