Il cono piu' grande
In un vecchio libro ho trovato questo problemino,
che vi propongo.
Da un foglio di forma circolare di raggio R, se ne taglia un settore
con angolo al centro a.
Unendo ora fra loro i lati del settore rimanente, si forma un cono.
Determinare a in modo che tale cono abbia il massimo volume.
G.Schgör
che vi propongo.
Da un foglio di forma circolare di raggio R, se ne taglia un settore
con angolo al centro a.
Unendo ora fra loro i lati del settore rimanente, si forma un cono.
Determinare a in modo che tale cono abbia il massimo volume.
G.Schgör
Risposte
acc... mi è venuta voglia di gelato! [:D]
solo una domanda... qual è la derivata di y=sqrt(k -x), dove k è una costante?...
ciao
ciao
d(sqrt(k-x))/dx = -1/(2*sqrt(k-x))
Tutto qui?
Ora aspetto la soluzione.
Tutto qui?
Ora aspetto la soluzione.
jack, stai studiando Analisi per conto tuo?
A me viene a = [2*sqrt(6)/3)]*pi radiandi = 120*sqrt(6)° = 294°.
Lascio ad altri la semplice dimostrazione.
Lascio ad altri la semplice dimostrazione.
Anche a me viene così.
perchè invece nn la scrivi anche qua?
Se a è l'angolo al centro del settore circolare
"minore", l'angolo al centro dell'altro settore
circolare è 2pi - a ; l'apotema del cono è R e
se indico con r il raggio di base del cono,
poiché la circonferenza di base del cono vale
R(2pi - a), è r = (2pi - a)*R/(2pi)
Si ricava poi l'altezza del cono in funzione di R
e di a con il Teorema di Pitagora, quindi si ricava il volume
in funzione di R e di a, poi si deriva rispetto ad a ...
"minore", l'angolo al centro dell'altro settore
circolare è 2pi - a ; l'apotema del cono è R e
se indico con r il raggio di base del cono,
poiché la circonferenza di base del cono vale
R(2pi - a), è r = (2pi - a)*R/(2pi)
Si ricava poi l'altezza del cono in funzione di R
e di a con il Teorema di Pitagora, quindi si ricava il volume
in funzione di R e di a, poi si deriva rispetto ad a ...
L'impostazione sembra corretta, ma i risultati no.
Come mai?
Come mai?
In effetti il mio risultato si riferisce all'angolo al centro del settore circolare utilizzato per la costruzione del cono.
L'angolo rimanente sarà dunque di circa 66°.
L'angolo rimanente sarà dunque di circa 66°.
Bene. Ora che l'avete risolto, do' la mia versione.
La soluzione e’ formalmente semplice: si esprimono i valori del
raggio della base del cono (r) e della sua altezza (h), in funzione
dei dati R ( raggio del cerchio originario) e 2pi – a (angolo al
centro del settore circolare con cui si costruisce il cono).
Data la formula del volume, si sostituiscono poi le espressioni
di r ed h, in modo che il volume risulti funzione dei soli R ed a.
Concettualmente e’ poi elementare dire che per trovare il
massimo del volume basta derivare questa espressione rispetto ad a,
uguagliarla a zero e trovare il valore di a che cerchiamo.
Svolgere effettivamente queste operazioni non e’ pero’ cosi’ semplice
(se qualcuno lo fa, merita un bel voto).
Io sostengo pero’ che ricorrendo all’aiuto di un calcolatore possiamo
risparmiarci un bel po’ di tempo (per dedicarlo a qualcosa di piu’ utile
che applicare pazientemente regole algebriche).
Indicizzando le variabili in gioco, possiamo infatti fargli calcolare tutte
le nostre espressioni in funzione dell’indice n (non occorre nemmeno
esprimere il volume in funzione dei soli R ed a) e trovare quell’n a cui
corrisponde il valore massimo.
Applicando lo stesso indice ad a, si ottiene il risultato cercato.
Per l’esecuzione dei calcoli e’ stato posta arbitrariamente R=10,
essendo evidente che il risultato non dipende da R
Rimango in attesa dei vostri commenti.
La soluzione e’ formalmente semplice: si esprimono i valori del
raggio della base del cono (r) e della sua altezza (h), in funzione
dei dati R ( raggio del cerchio originario) e 2pi – a (angolo al
centro del settore circolare con cui si costruisce il cono).
Data la formula del volume, si sostituiscono poi le espressioni
di r ed h, in modo che il volume risulti funzione dei soli R ed a.
Concettualmente e’ poi elementare dire che per trovare il
massimo del volume basta derivare questa espressione rispetto ad a,
uguagliarla a zero e trovare il valore di a che cerchiamo.
Svolgere effettivamente queste operazioni non e’ pero’ cosi’ semplice
(se qualcuno lo fa, merita un bel voto).
Io sostengo pero’ che ricorrendo all’aiuto di un calcolatore possiamo
risparmiarci un bel po’ di tempo (per dedicarlo a qualcosa di piu’ utile
che applicare pazientemente regole algebriche).
Indicizzando le variabili in gioco, possiamo infatti fargli calcolare tutte
le nostre espressioni in funzione dell’indice n (non occorre nemmeno
esprimere il volume in funzione dei soli R ed a) e trovare quell’n a cui
corrisponde il valore massimo.
Applicando lo stesso indice ad a, si ottiene il risultato cercato.
Per l’esecuzione dei calcoli e’ stato posta arbitrariamente R=10,
essendo evidente che il risultato non dipende da R
Rimango in attesa dei vostri commenti.
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