Idrodinamica - Portata

[Giuliette91]

ciao potreste darmi la dimostrazione di come si trova la portata?so ke è SxV ma come si arriva alla formula?grazie in anticipo p.s possibilmente cn spiegazione

[Cherubino]

In idrodinamica la portata è a quantità di fluido che attraversa una sezione di area S nell'unità di tempo.

Più precisamente, ci sono diversi tipi di portata:
- la portata di volume (la quantità di volume di fluido che attraversa...)
- la portata di massa (la quantità di massa di fluido che attraversa...)
- ...

In generale, la parola portata è seguita da un "di qualcosa" che specifica a quale portata ci si riferisce (ovvero di quale grandezza si vuole studiare il trasporto).

Ovviamente nelle situazioni più semplici, tra le varie portate esistono delle relazioni;
per esempio, la massa e il volume di un fluido sono legati dall'equazione

[math]M = \rho V[/math]

dove

[math]\rho[/math]

è la densità (e si è fatta l'ipotesi di densità costante, per non tirare in ballo integrali tripli).
Quindi in caso di fluido incomprimibile e a densità costante, la portata di massa e di volume si distinguono solo per un fattore moltiplicativo (la densità

[math]\rho[/math]

)

Per caratterizzare una portata, immaginiamo una superficie fissa attorno a una certa porzione di fluido;
la portata di massa è la quantità di massa che entrerà o uscirà nella superficie.

Ora mostriamo che tale quantità è uguale a

[math]\rho \vec v \cdot \vec S[/math]

dove

[math]\vec v[/math]

è la velocità del fluido, e

[math]\vec S[/math]

è la superficie orientata (la direzione del versore della superficie è ortogonale alla superficie stessa).

Partiamo da un caso semplice: tutto il fluido in moto con velocità costante e uniforme v, che attraversa una superficie di area S, posta perpendicolarmente alla velocità.
E' abbastanza evidente (magari con un disegnino), che la quantità volume fluido che attraversa la superficie nel tempo

[math]\Delta t[/math]

è data dal parallelepipedo, con spigolo di base

[math] v \Delta t[/math]

e di superficie laterale S.
La massa che attraversa la superficie S in un tempo

[math]\Delta t[/math]

è quindi

[math]\Delta M = \rho v S \Delta t[/math]

Quindi, la quantità di massa che passa nell'unità di tempo è:

[math]\frac{\Delta M}{\Delta t} = \rho v S [/math]

Nel caso in cui la velocità del fluido non sia perpendicolare alla superficie, si tiene conto della quantità effettiva di fluido che attraversa la superficie mediante il prodotto scalare:

[math]\frac{\Delta M}{\Delta t} = \rho \vec v \cdot \vec S [/math]

dove la "direzione" della superficie è (convenzionalmente), la perpendicolare alla superficie, e il verso è quello "esterno", se la superficie è chiusa.

Nel caso in cui la velocità del fluido non sia uniforme lungo la superficie, oppure la denistà non sia uniforme, oppure la superficie sia curva è necessario fare uso del calcolo integrale, scrivendo la portata come

[math]\frac d {dt} M= \int \int \rho \vec v \cdot d\vec S\[/math]

dove l'integrale, si estende a tutta la superficie.

Edit: ho inserito questa spiegazione (un po' ritoccata) negli appunti:
https://www.skuola.net/fisica/meccanica/fluidi-portata.html