Identità goniometrica

[jellybean22]

Buona sera, sono in difficoltà con la seguente identità:

$sen^2alpha+cos^2betacos(2alpha+beta)=cos^2(alpha+beta)$

Risolvo:

$sen^2alpha+cosbeta(cos2alphacosbeta-sen2alphasenbeta)=cos^2(alpha+beta)$
$sen^2alpha+cosbeta[(cos^2alpha-sen^2alpha)cosbeta-senbeta(2senalphacosalpha)]=cos^2(alpha+beta)$
$sen^2alpha+cos^2alphacos^2beta-sen^2alphacos^2beta-2senalphacosalphasenbetacosbeta=cos^2(alpha+beta)$
$cos^2alphacos^2beta+sen^2alpha(1-cos^2beta)-2senalphacosalphasenbetacosbeta=cos^2(alpha+beta)$
$cos^2(alpha-beta)-2senalphacosalphasenbetacosbeta=cos^2(alpha+beta)$

Non so se fino a qui ho svolto correttamente; comunque, da qui in poi, non riesco ad andare avanti.

Grazie a tutti!

[Gi81]

Io procederei tenendo presente che $cos^2(alpha-beta)=[cos(alpha)cos(beta)+sin(alpha)sin(beta)]^2$ e che $cos^2(alpha+beta)=[cos(alpha)cos(beta)-sin(alpha)sin(beta)]^2$

[Gi81]

Ho notato però che hai commesso un errore tra il penultimo e l'ultimo passaggio.
Non è vero che $cos^2alpha*cos^2beta+sin^2alpha*sin^2beta=cos^2(alpha-beta)$
Ricapitolando:

"Francesco.93":$cos^2alphacos^2beta+sen^2alpha(1-cos^2beta)-2senalphacosalphasenbetacosbeta=cos^2(alpha+beta)$

Fin qui va bene. Il tutto sdventa $cos^2alphacos^2beta+sen^2alpha*sin^2beta-2senalphacosalphasenbetacosbeta=cos^2(alpha+beta)$
Ora trasforma $cos^2(alpha+beta)$ come ho scritto nel mio intervento precedente e in pochi passaggi arrivi a dimostrare l'identità

[@melia]

Fino a qui è giusto
$cos^2alphacos^2beta+sen^2alpha(1-cos^2beta)-2senalphacosalphasenbetacosbeta=cos^2(alpha+beta)$
poi forse hai pensato che il quadrato non comprendesse il doppio prodotto, invece tutto il primo membro diventa:
$cos alpha cos beta - sin alpha sin beta)^2$ e quindi l'esercizio è finito correttamente.

[jellybean22]

Si, ho fatto e capito , grazie mille a tutti e due!!!