Identità condizionata in Trigonometria (con (co)secante e (co)tangente)

[jojomath]

Salve a tutti! Sono nuovo nel forum quindi se faccio errori, mi scuso in anticipo .

Mi sto cervellando con la seguente identità trigonometrica:

\( \sec^2\alpha+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha+\frac{1+\tan^2\alpha}{1+\cot^2\alpha} \)

Dopo aver imposto le condizioni (in questo caso solo quelle d'esistenza che ho capito), ho svolto l'identità nel modo seguente:

\( \sec^2\alpha+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha+\frac{1+\tan^2\alpha}{1+\cot^2\alpha}
\\
\frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\sin^2\alpha}+\frac{1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}
\\
\frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\sin^2\alpha}+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}
\\
\text{da qui il dilemma}
\\
\frac{\sin^2\alpha+\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha ·\cos^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha+\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha ·\cos^2\alpha} \)

Invece il libro conferma un altro risultato!

Fin adesso ho sfruttato tutte le relazioni fondamentali, ma invano...
Vi prego aiutatemi!!!

[@melia]

Prendi solo il primo membro e trasforma il coseno a numeratore in un seno:
$frac{\sin^2\alpha+\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha ·\cos^2\alpha}=(sin^2alpha+ (1-sin^2alpha)^2)/(sin^2 alphacos^2alpha)=$
$=(sin^2alpha+ 1-2sin^2alpha+ sin^4alpha)/(sin^2 alphacos^2alpha)=$
$=( 1-sin^2alpha+ sin^4alpha)/(sin^2 alphacos^2alpha)=$
$=(cos^2alpha+sin^4alpha)/(sin^2 alphacos^2alpha)$ ed è diventato uguale al secondo membro

[jojomath]

Ed io che mi portavo di continuo entrambi i membri...
Mentre leggevo la soluzione del problema, ero sbigottito dalla felicità!!!

Grazie davvero di cuore