I sistemi

[paperino001]

quest'anno stiamo facendo i sistemi e mi sono venuti diversi dubbi (come al solito )

nell'equazione di una retta $x + 2y = 8$ se risolvo rispetto alla y viene $y=(8-x)/2$
ma perchè disegnando la retta passa per 4 in y ? non si dovrebbe capire già dall'equazione se passa per il centro oppure sopra o sotto e anche di quanto?

La professoressa ha detto che in seguito scopriremo che una curva si può scomporre in rette, è vero? scomponendo semplicemente l'equazione della curva?

Come mai se in un sistema si sostituisce o si confronta la x o la y di un sistema con l'altro (in un sistema a 2) scopro il punto di intersezione (se esiste) delle rette? mi sembra un pò troppo scontato, non ci sarà qualche dimostrazione? altrimenti potrebbe anche essere un caso

Nel metodo di eliminazione per rendere opposti i coefficienti di una lettera bisogna per forza moltiplicare oppure in teoria si può anche sottrarre, sommare e dividere (sempre rispettando le leggi delle equazioni) ? come funziona per esempio usando addizione e sottrazione?

anche per questo metodo, esiste una dimostrazione che effettivamente funziona?


Grazie!!

[1ac0p0]

La retta $ x+2y=8 $ in forma canonica diventa $ y=-1/2 x + 4 $ . Eccotelo qua il 4 in y.... L'8 e il 2 si semplificano.

Se metti in sistema le equazioni di due curve ne fai l'intersezione "a livello di algebra" diciamo... Ecco perchè trovi il punto/i punti di intersezione.

Per le altre due domande, non ho capito bene che cosa chiedi, quindi evito per ora di rispondere, magari arriva qualcun altro che ha capito meglio di me [/chessgame]

[giammaria2]

Andiamo con ordine. Alla prima domanda ha già risposto 1ac0p0; la seconda è

La professoressa ha detto che in seguito scopriremo che una curva si può scomporre in rette, è vero? scomponendo semplicemente l'equazione della curva?

In generale è falso e devi aver frainteso; probabilmente ha detto solo che in alcuni casi è vero e lascio a lei lo spiegarvi, a suo tempo, quali sono questi casi. O forse ha voluto dire che in analitica la parola curva è usata nel significato di linea, quindi anche le rette sono chiamate curve.
La terza domanda è

Come mai se in un sistema si sostituisce o si confronta la x o la y di un sistema con l'altro (in un sistema a 2) scopro il punto di intersezione (se esiste) delle rette? mi sembra un pò troppo scontato, non ci sarà qualche dimostrazione? altrimenti potrebbe anche essere un caso

e ha già avuto una risposta da 1ac0p0, ma aggiungo qualche precisazione. Hai già studiato che dire che un punto sta su una certa curva è lo stesso che dire che le sue coordinate soddisfano ad una certa equazione, detta equazione di quella curva. Dire che un punto è l'intersezione di due curve è lo stesso che dire che sta sulla prima e sulla seconda, quindi è lo stesso che dire che soddisfa alla prima equazione e alla seconda, cioè è lo stesso che dire che soddisfa al sistema formato dalla due equazioni.
L'ultima domanda è

Nel metodo di eliminazione per rendere opposti i coefficienti di una lettera bisogna per forza moltiplicare oppure in teoria si può anche sottrarre, sommare e dividere (sempre rispettando le leggi delle equazioni) ? come funziona per esempio usando addizione e sottrazione? Anche per questo metodo, esiste una dimostrazione che effettivamente funziona?

Un'equazione non moltiplicata per nessun numero è lo stesso che moltiplicata per $1$: il metodo di somma corrisponde quindi a moltiplicare per $1$ entrambe le equazioni; quello di differenza a moltiplicare per $1$ e $-1$.
Dimostrazione del metodo di eliminazione: se due numeri soddisfano a due equazioni, soddisfano anche a tutte le equazioni che sono conseguenza di queste; basta quindi trovare, in qualsiasi modo, delle equazioni che siano conseguenza delle precedenti e contengano una sola incognita. Le moltiplicazioni sono quindi fatte in modo da eliminare un'incognita per volta. Per rendere veramente rigorosa la dimostrazione che ti ho dato, bisognerebbe anche dimostrare che non si aggiungono né tolgono soluzioni, ma non è brevissimo.

[paperino001]

se in un sistema trovo questa equazione posso semplificarla semplicemente come ho fatto qui oppure devo intervenire anche nell'altro membro o nell'altra equazione del sistema a due equazioni?

$(18x + 3y -3)/(6x+ 15 -9y) = 16/7$

$(6x + y -1)/(2x+ 5 -3y) = 16/7$

[giammaria2]

Il calcolo è giusto. Una regola dice che si possono moltiplicare numeratore e denominatore di una frazione per una stesso numero non nullo: tu hai diviso per 3.

[paperino001]

questo invece è sbagliato vero?:

$(18x + 3y -3)/(x+ 2 -9y) = 16/7$

$(6x + y -1)/(x+ 2 -9y) = 16/7$

[giammaria2]

Vero. Hai diviso per 3 solo il numeratore e questo non è lecito.