I punti di massimo e minimo e i punti di sella della seguente funzione
Ciao ragazzi , come si determinano i punti di massimo e minimo relativo e i punti di sella di questa funzione ?
z = 2xy² + 2x³ - 6x
Ho difficoltà in questo argomento , grazie per l'aiuto
z = 2xy² + 2x³ - 6x
Ho difficoltà in questo argomento , grazie per l'aiuto
Risposte
ciao Mattia!!!
Prima cosa facciamo le derivate parziale prime e seconde della tua funzione
$f(x,y)=2xy^2+2x^3-6x$
$(delf)/(delx)=2y^2+6x^2-6$
$(delf)/(dely)=4xy$
$(del^2f)/(delx^2)=12x$
$(del^2f)/(dely^2)=4x$
$(del^2f)/(delxdely)=(del^2f)/(delydelx)=4y$
Ora che abbiamo tutti gli elementi dobbiamo vedere dove si annulla il gradiente della tua funzione ($grad f(x,y)=0$) facendo il sistema
$(delf)/(delx)=0$
$(delf)/(dely)=0$
La risoluzione di questo sistema ti fornisce i candidati a essere max, min e sella, si chiamano punti stazionari. Abbiamo
$xy=0$
$3x^2+y^2=3$
che ha come soluzioni i punti
$A(0,sqrt(3))$
$B(0,-sqrt(3))$
$C(1,0)$
$D(-1,0)$
Ora non resta che calcolare l'Hessiano relativo a questi 4 punti. Ti ricordo che
1) Hessiano positivo con primo elemento positivo hai il minimo
2) Hessiano positivo con primo elemento negativo hai il massimo
3) Hessiano negativo hai il sella
4) Hessiano nullo trovi un'altra strada
Abbiamo
$H=((12x,4y),(4y,4x))$
e nei quattro casi (punti A,B,C,D) abbiamo
$H_A=-48$ punto di sella
$H_B=-48$ punto di sella
$H_C=48$ minimo
$H_D=48$ massimo
Spero di non aver fatto errori di calcolo sono un po' arrugginito sugli argomenti di analisi2... un saluto
Prima cosa facciamo le derivate parziale prime e seconde della tua funzione
$f(x,y)=2xy^2+2x^3-6x$
$(delf)/(delx)=2y^2+6x^2-6$
$(delf)/(dely)=4xy$
$(del^2f)/(delx^2)=12x$
$(del^2f)/(dely^2)=4x$
$(del^2f)/(delxdely)=(del^2f)/(delydelx)=4y$
Ora che abbiamo tutti gli elementi dobbiamo vedere dove si annulla il gradiente della tua funzione ($grad f(x,y)=0$) facendo il sistema
$(delf)/(delx)=0$
$(delf)/(dely)=0$
La risoluzione di questo sistema ti fornisce i candidati a essere max, min e sella, si chiamano punti stazionari. Abbiamo
$xy=0$
$3x^2+y^2=3$
che ha come soluzioni i punti
$A(0,sqrt(3))$
$B(0,-sqrt(3))$
$C(1,0)$
$D(-1,0)$
Ora non resta che calcolare l'Hessiano relativo a questi 4 punti. Ti ricordo che
1) Hessiano positivo con primo elemento positivo hai il minimo
2) Hessiano positivo con primo elemento negativo hai il massimo
3) Hessiano negativo hai il sella
4) Hessiano nullo trovi un'altra strada
Abbiamo
$H=((12x,4y),(4y,4x))$
e nei quattro casi (punti A,B,C,D) abbiamo
$H_A=-48$ punto di sella
$H_B=-48$ punto di sella
$H_C=48$ minimo
$H_D=48$ massimo
Spero di non aver fatto errori di calcolo sono un po' arrugginito sugli argomenti di analisi2... un saluto
Ciao mazzarri , grazie per la risposta
Cosa significano questi però ? Per esempio :
Non li ho mai visti prima d'ora
è come dire fx' o fy' ?
Cosa significano questi però ? Per esempio :
Non li ho mai visti prima d'ora
è come dire fx' o fy' ?
@mazzarri
Hai fatto un erorre di calcolo sulla semplificazione della derivata parziale prima in x, viene $3x^2+y^2=3$, questo ha determinato un errore nel calcolo dei punti critici.
@Mattia
$ (delf)/(delx)=f'_x $
Hai fatto un erorre di calcolo sulla semplificazione della derivata parziale prima in x, viene $3x^2+y^2=3$, questo ha determinato un errore nel calcolo dei punti critici.
@Mattia
$ (delf)/(delx)=f'_x $
OK allora mi sa che ti stanno facendo fare un esercizio non adatto alla tua preparazione
Si chiamano derivate parziali
Se hai una funzione in 2 variabili $f(x,y)$ puoi derivare sia rispetto alla x che rispetto alla y
E' un argomento di analisi2 come loè l'esercizio che hai postato
Funzioni di 2 variabili -> derivate parziali!!!
Per esempio nella tua funzione
$f(x,y)=2xy^2+2x^3-6x$
derivare parzialmente rispetto a $y$ significa che consideriamo $y$ una variabile e $x$ una costante!
Quindi provaci anche tu è facile..
$(delf)/(dely)=4xy$
hai capito perchè? immagina $y$ la variabile e $x$ come fosse un numero, una costante
Prova adesso a fare la derivata parziale rispetto a $x$, fallo da solo
Poi le derivate seconde anche qui con la stessa regola
Con le derivate seconde hai una cosa particolare, ne hai quattro! Perchè derivi se vuoi due volte rispetto a $x$, due volte rispetto a $y$ ma puoi anche derivare rispetto a $x$ e poi a $y$ oppure rispetto a $y$ e poi a $x$
Insomma mi sembra un esercizio che per essere risolto necessita una preparazione superiore alla tua... perchè te lo hanno dato?
Si chiamano derivate parziali
Se hai una funzione in 2 variabili $f(x,y)$ puoi derivare sia rispetto alla x che rispetto alla y
E' un argomento di analisi2 come loè l'esercizio che hai postato
Funzioni di 2 variabili -> derivate parziali!!!
Per esempio nella tua funzione
$f(x,y)=2xy^2+2x^3-6x$
derivare parzialmente rispetto a $y$ significa che consideriamo $y$ una variabile e $x$ una costante!
Quindi provaci anche tu è facile..
$(delf)/(dely)=4xy$
hai capito perchè? immagina $y$ la variabile e $x$ come fosse un numero, una costante
Prova adesso a fare la derivata parziale rispetto a $x$, fallo da solo
Poi le derivate seconde anche qui con la stessa regola
Con le derivate seconde hai una cosa particolare, ne hai quattro! Perchè derivi se vuoi due volte rispetto a $x$, due volte rispetto a $y$ ma puoi anche derivare rispetto a $x$ e poi a $y$ oppure rispetto a $y$ e poi a $x$
Insomma mi sembra un esercizio che per essere risolto necessita una preparazione superiore alla tua... perchè te lo hanno dato?
"@melia":
@mazzarri
Hai fatto un erorre di calcolo sulla semplificazione della derivata parziale prima in x, viene $3x^2+y^2=3$, questo ha determinato un errore nel calcolo dei punti critici.
$
Grazie @Melia, ho corretto... spero adesso sia a posto, grazie 1000!
Infatti ho sentito che queste sono cose che si fanno all'università e a me le fanno fare in quarta superiore !! Pazzesco ...
Quindi verrebbe così cambiando quei simboli in frazione ? :
f ' x = 2y² + 6x² -6
f ' y = 4xy
f ' 'xx = 12x
f ' 'yy = 4x
f ' 'xy = f ' 'yx = 4y
Quindi verrebbe così cambiando quei simboli in frazione ? :
f ' x = 2y² + 6x² -6
f ' y = 4xy
f ' 'xx = 12x
f ' 'yy = 4x
f ' 'xy = f ' 'yx = 4y
"Mattia96":
Infatti ho sentito che queste sono cose che si fanno all'università e a me le fanno fare in quarta superiore !! Pazzesco ...
Scommetto che frequenti un istituto tecnico. È normale che queste cose siano fatte in quarta. Servono per capire le materie professionalizzanti che affronterai in quinta.
"@melia":
[quote="Mattia96"]Infatti ho sentito che queste sono cose che si fanno all'università e a me le fanno fare in quarta superiore !! Pazzesco ...
Scommetto che frequenti un istituto tecnico. È normale che queste cose siano fatte in quarta. Servono per capire le materie professionalizzanti che affronterai in quinta.[/quote]
Eh si
è giusto sopra comunque ? Sul mio libro vengono scritte in quel modo ...
"Mattia96":
è giusto sopra comunque ? Sul mio libro vengono scritte in quel modo ...
Le tue derivate? si, confrontale con quelle che ti ho scritto sopra, sono uguali...
ora capisci come continuare?
"mazzarri":
[quote="Mattia96"]
è giusto sopra comunque ? Sul mio libro vengono scritte in quel modo ...
Le tue derivate? si, confrontale con quelle che ti ho scritto sopra, sono uguali...
ora capisci come continuare?[/quote]
Si si , grazie mille
Intendevo se era giusto sostituire per esempio
con --> f ' ' yyetc ...
Direi che sono la stessa cosa
Forse al liceo ti fanno usare il secondo modo di scrivere, io conosco il primo ma non importa è soltanto un modo diverso per dire la stessa cosa.
L'importante è che tu abbia capito il procedimento, come si trovano i massimi, i minimi e i punti di sella...
ciao!
Forse al liceo ti fanno usare il secondo modo di scrivere, io conosco il primo ma non importa è soltanto un modo diverso per dire la stessa cosa.
L'importante è che tu abbia capito il procedimento, come si trovano i massimi, i minimi e i punti di sella...
ciao!
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