I luoghi geometrici e la retta

[auroramanieri99]

ciao a tutti, vorrei sapere come posso trovare l'equazione del luogo dei punti per i quali la somma dei quadrati delle distanze dai due punti A(1;1) e B(1;-1) é doppia rispetto al quadrato della distanza dall'origine O. Grazie mille per l'aiuto.:)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali

[math]Oxy[/math]

, si considerino i punti

[math]A(1,\,1)[/math]

,

[math]B(1,\,-1)[/math]

e un generico punto

[math]P(x,\,y)[/math]

. Ebbene, il luogo dei
punti tale per cui la somma dei quadrati delle distanze dai punti

[math]A[/math]

e

[math]B[/math]

è pari
al doppio del quadrato della distanza da

[math]O\\[/math]

è individuato dall'equazione:

[math]|P - A|^2 + |P - B|^2 = 2\,|P - O|^2[/math]

che equivale a scrivere

[math]\small \left[(x - 1)^2 + (y - 1)^2\right]+\left[(x - 1)^2 + (y + 1)^2\right] = 2\left[(x - 0)^2 + (y - 0)^2\right] \; .[/math]

Semplificando, si ottiene il luogo dei punti desiderato:

[math]4 - 4\,x = 0[/math]

ossia la retta di equazione cartesiana

[math]x = 1[/math]

. :)