$H(x)=(cospit)/(3+t^2)$

[ramarro1]

ESERCIZIO
Si consideri la funzione $H(x)=int(cos(pit))/(3+t^2)dt$ dopo aver calcolato $H(1/2),H'(1/2),H''(1/2)$ si determini il seguente limite
$lim_(x->1/2)(H(x))/(4x^2-4x+1)$
P.S. l'integrale andava da $1/2$ a $x$
per la definizione del calcolo integrale, l'integrando stesso è la $h'(x)$, quindi vedendo che il limite tende a $1/2$ e l'integrale è fra $1/2$ e $x$ si dice che $H(x)=0$, e $H(1/2)=0$.
il limite è quindi $(H(1/2))/0=0/0$

$H'(x)=(cospit)/(3+t^2)$
udo de l'hopital
$H'(1/2)=(cos(pi/2)/(13/4))/(4-4)$ ancora $0/0$

uso de l'hopital

$H''(x)=((pi(-senpi)(3+1/4)-cos(pi/2)(2/2))/(3+1/4)^2)/8$
facendo i calcoli dovrebbe essere $(pi(13/4))/(13/4)^2(1/8)=(13pi)/4(4/13)^2(1/8)=pi/26$

ovviamente sono gradite le vostre correzioni/precisazioni

[mazzarri1]

ciao Ramarro!!!
L'integrale è calcolato tra 1/2 e x dici tu quindi immediatamente hai

$H(1/2)=0$

poichè viene un integrale coi due estremi di integrazione identici...

Poi direi

$H'(x)= (cos(pi x))/(3+x^2) $

da cui

$H'(1/2)=0$

e se non sbaglio il calcolone (sono un po' stanchino...)

$H''(x) = (-pi sin (pi x)(3+x^2)- 2x cos(pi x))/(3+x^2)^2$

da cui

$H''(1/2) = -4 pi /13$

Per quanto riguarda il limite dovrebbe essere applicando due volte il marchese de l'hopital

$-pi/26$

[ramarro1]

Ah ok grazie mazzarri, sei stato velocissimo a rispondere, in meno di24 ore accidenti, cmq se ho ben capito alla fine il metodo da me usato era giusto solo che il risultato è venuto sbagliato perchè avevo perso per strada il 'meno' di $(-sen(pi/2))$ giusto?lascia stare il fatto che nel 'calcolone' dellla derivata seconda non ho riportato la $x$, ne avevo cmq tenuto conto...quindi tornando a noi avevo perso per strada il 'meno' di $(-sen(pi/2))$ e basta giustoo?

[mazzarri1]

mi sembra di si Ramarro